浅谈一元线性绝对值函数问题的求解策略

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1、问题专题突破量●元线性绝对值⋯问题的3Ii；：解策略、_{浅函一一．．f{{{㈤㈣谈数刘显伟对值的定义，即代数意义或几何意义，以及形如f(x)一>口l—bI(其中为i=1由此得到的去绝对值符号的方法．正整数，n不全为零)的函数称为一元线性(一次)绝对值函数．这类函数常常出现在各例1(1)设g()一Il+tI—I2-I，求g(￡)的值域省市高考题、各高校自主招生题以及各类模拟题中．在解这类题的过程中，同学们往往(2)设，(z)一lz一1l+lz+1l，求由于对绝对值的处理不当，或对绝对值代数厂(z)的值域；意义和几何意义的理解不够，而遇到困难．(3)若不等式ln+6I—I2口一6l

2、≤下面就这类问题的求解策略作一番探究．lnl(Iz一1l+lz+11)对任意a，bER恒成注意，我们考虑问题的出发点始终是绝立，求实数z的取值范围．个充要条件：s一坠，其中是前项的薰一厶厶(1)已知数列{口)的前，z项和为S，则平均值，也就是说，求等差数列的前项和数列{n)为等差数列的充要条件是S一n(a1—卜口)时，其各项可以看成是同一个值．厶Z反过来，如果一个数列对任意的前项和(2)已知数列{a}各项均不为零，记sn都具有这种变化的均匀性，我们可以证明为数列{)的前项之和，则数列{)它必定是等差数列．另一方面，这三个问题都源于课本，但为等差数列的充要条件是S一．又高于课本．在

3、课本题的基础上让自己的思(3)已知数列{a)各项均为正数，记S维多走一步，这既是高考命题者常用的方法，也是我们在平时学习中应该养成的习为数列{)的前72项之和，则数惯，这对提升我们的思维大有裨益．发现问列{)为等差数列的充要条件是S一题比证明问题更重要，但不证明也是万万不行的，而证明过程中不仅需要知识储备，而且需要勇气和毅力，也就是需要非智力因素这三个充要条件刻画了等差数列变化的储备．的均匀性特征．比如，等差数列的求和公式辫蝴》。’≮!0事i：i问题·专题突破解析(1)方法1(利用代数意义去laJ=bl可用来求lnl—Ibl的最大值与最小绝对值符号)有g()一I1+￡I—l2一￡

4、I—值，但要注意I口士bI必须是个常数，并要检f一3，≤一1，验等号成立的条件．Ia~bI≤lnI+lbl可l2t-1，一1<<2，又当一1<￡<2时，一3用来求ln1+lbI的最小值，但要注意Il3，￡≥2，In±bI必须是个常数，且要检验等号成立的：<2一1<3，所以g()的值域为[一3，3]．条件．此外，抓住几何意义，则能更深刻地理方法2(利用几何意义去绝对值符号)解一ln士bl≤l口l—Ibl≤l口士6I≤有g(￡)一f1+￡I—l2一tI表示数轴上坐标1nI+1b1．为t的动点P到两定点(一1)，(2)的距离之(3)只需解不等式Iz一1I+I+1I≥3差，观察动点的位置

5、，显然当P落在点(一1)即可．的左侧(包括点(一1))时，g(￡)一一3，当P方法1(利用代数意义去绝对值符号)过落在点(2)的右侧(包括点(2))时，g(￡)一3，程略，方法2(利用几何意义去绝对值符号)当P落在点(一1)的右侧及点(2)的左侧过程略．答案为(一。。，一号]u[3，+。。)．时，g(￡)可以取遍(一3，3)上的所有值，所以g(￡)的值域为[一3，3]．例2设厂()一Iz一1I+lz一2I+方法3(利用lnl—Ibl≤I口土6I去绝Iz一3I，求f(x)的最小值．对值符号)有g(t)一l1+I—l2一tI≤解析f(z)===jz一1j+lz一2l+I(1+￡)+(

6、2一t)l一3，g()一一(I2一tI一lz一3J表示数轴上坐标为z的动点P到三11+t1)≥一I(2一t)+(1+t)l一一3．定点A(1)，B(2)，C(3)的距离之和，观察动(2)方法1(利用代数意义去绝对值点的位置，显然当P落在B处，即z一2时，符号)可知厂(z)一I．z一1I+lz+1l—f(x)取得最小值2．f一2x，z≤一1，I点评一般地，对于数轴上的点A，2，一1

7、应的点[2，十。。)．A落在A，A，⋯，A的中间点上，即z=：：方法2(利用几何意义去绝对值符号)xn--1时，厂(z)取得最小值；当为偶数时，有可知厂()一1．z一1l+Iz+1l表示数轴上坐标对应的点A落在A，A，⋯，A的中坐标为z的动点P到两定点(一1)，(1)的距间两点之间(包括中间两点上)，即罢≤z≤离之和，观察动点的位置，显然当P落在点z罢+时，f(x)取得最小值．(一1)的左侧(包括点(一1))或点(1)的右例2所给函数中各绝对值符号内．z的侧(包括点(1))时，f