“绝对值型函数”的求解策略

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1、〃绝对值型函数"的求解策略■教师教育论文〃绝对值型函数〃的求解策略文/丁永前【摘要】在近几年各地的高考或模拟考试中，含有绝对值的函数的求解层出不穷，我们不妨称之为〃绝对值型函数〃，绝对值型函数是大部分考生的弱点,更是难点所在，因为这类题目主要考察学生对基本函数的掌握和去绝对值的思想灵活运用的能力，若是基本功不扎实不能转化为已学的基本函数类问题求解，若是灵活运用的能力不强，则不能通过知识的迁移将转换后的问题进行求解。关键词绝对值的函数；函数求解本文笔者通过对这类问题的思考,谈谈解决绝对值型函数的常用解法。1.形

2、如"y二

3、f(x)

4、〃型。这是单一绝对值型函数，不论f(x)是已知函数还是含参数的未知函数,都可对f(x)值的正负进行分类讨论。例1.(2014年淮阴市模拟试题)(2知函数f(x)二比(1)求证:f(x)Mx+1；(2)求证：对任意的正数a,总存在正数x,使毋成立。解析:第(】)小题利用导数可求得函数g(x)二a-x-1在x二0处求得授小值为0•故f(X)MX+1得证;第⑵小题的绝对值若利用第小小题的结果进行分析•可变形为f(x)；1'x=Alf(x)J"二f(x)；上X.即证明対任意的ae(0r+x),总存

5、在XW(0严)使得不等式f(x)-1-xO,当x&(0山时u(x)<0；当xw血+对时u(x)>0o所以函数u(x)在(0加为单调递减•在张+对为单凋递增。而u(0)二0•所以u(xJ<0,故ex-(a+1)x-1<0在(O.+oc)上有解，原题得证。2.可转化为〃f(x)二x

6、x-a

7、〃型函数。该型函数的

8、图像为关于x轴对称的两个二次函数在区间(・8间和⑻+oo)上的两个不同部分，如图：(1'例2.(2014年徐州模拟题改编)已知aHO,若函数f(x)=x

9、x-a

10、在区间(gn)上既有最大值又有最小值，分别求出mzn的取值范围(用a表示L解析：由函数在开区间(口

11、n)上既有最大值又有最小值.则最大值、最小值只能在函数的极值点处取得,由f(x)•当a>0时•由右图可知极小值为0,极大值为宁所以函数在开区间(m,n)上的最小值为f⑶二0•最大值为f(少)二纟■,可知0Un2-an^,解i'Ja

12、a<0时，求｛!J-0±x22)a-^m

13、x-a

14、+

15、x-b

16、〃或〃f(x)二

17、x-a

18、-

19、x-b

20、〃(其中azb为已知的常数)的函数.这是双绝对值型函数中的类型，可用正负性分类讨论的方法或者用数轴的几何意义将绝对值去掉，由f(x)二

21、x-a

22、-

23、x-b

24、有图形⑴则f(x)>

25、a-b

26、;由f(x)=

27、有其图形⑵则・

28、a-b

29、

30、(2)a-b

31、on)例3.(2014年湖北卷高考题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时,f(x)=

32、x-a2

33、+

34、x-3

35、a2

36、-4a2,若对任意的xeR,都有f(x)

37、x-a

38、+

39、x-b

40、型函数，又3a2>a2>0z所以

41、x-a2

42、+

43、x-3a2

44、>2a2z则当x0时f(x)»2a2且与x轴的交点为(4a2z0),由奇函数可知：当x0时f(x)<2a2,且与x轴的交点为-(4a2z0),如图。因为f(x)

45、于8a2个单位时能满足题意,故由8a2<2^f-l/2

46、2x-a

47、+

48、3x-3a

49、>a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合为o解析一:设:函数f(x)=l2x-al+l3x-2alo方法一刈a的正负性进行讨论，去掉絶对值•实质为求a>0和a<0两种情形之下分段函数的最小值问题。対a分类讨论为:当心0时，有x<乡,f(x)=3S号X寻时f(x)»x呼;f(x)=5Z。由图像可『Jx二弩-时函数取丐最小值，此时a^OU

50、-^a2；解存0<

51、aw*；同理:当a<0时，有x<-y-f(x)=3a-5x；-y-yf(x)=x-a；x>

52、-f(x)=5x-3a由图像可存x二乎•时函数取得最小值•此时赵且号冷,解弘*它。当a二0,易知原不等式怕成立综上所述詔的取值范围为［-卜*］。悴卜3卜劄=2(

53、x-，其中2(

54、x号

55、+

56、x-寻

57、)在【

58、■普a_斗，电L］(°o器号］(族0时)上任意一点取彳寻最小值，而

59、x■孕

60、在解析二:转化为f(x)=lx