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1、多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法 命题设a1≤a2≤a3≤…≤an,Y＝︱x－a1︱＋︱x－a2︱＋︱x－a3︱＋…＋︱x－an︱,求y达到最小值的条件：（1）当n＝2k时，x∈﹝ak,,ak＋1﹞,y值达到最小；（2）当n＝2k－1时，x＝ak时，y值达到最小。利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。(思考：穿根法思想试试？)证明：（1）当n＝2k时若ak＜ak＋1︱x－a1︱＋︱x－a2k︱≥a2k－a1,当且仅当x∈﹝a1,,a2k﹞时等号成立，︱x－a2︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a2,当且仅当x∈﹝a2,,a2k-
2、1﹞时等号成立，…︱x－ak︱＋︱x－ak+1︱≥ak+1－ak,当且仅当x∈﹝ak,ak+1﹞时等号成立；因为﹝ak,ak+1﹞是以上各区间的公共的子区间，所以当且仅当x∈﹝ak,ak+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。若ak＝ak＋1时，当且仅当x＝ak＝ak+1时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。（2）当n＝2k－1时，︱x－a1︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a1,当且仅当x∈﹝a1,a2k-1﹞时等号成立，︱x－a2︱＋︱x－a2k-2︱≥a2k-2－a2,当且仅当x∈﹝a2,a2k-2﹞时等号成立
3、，…︱x－ak-1︱＋︱x－ak+1︱≥ak+1－ak-1,当且仅当x∈﹝ak-1,ak+1﹞时等号成立；︱x－ak︱≥0，当且仅当x＝ak时等号成立因为x＝ak是以上各区间唯一公共的元素，所以当且仅当x＝ak时，以上各式的等号能同时成立，y才能达到最小。例1y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－19︱,求y的最小值。解析:共19项，中项为10，由以上定理知，当且仅当x＝10时，y值达到最小。代人x＝10，ymin＝90.例2（第19届“希望杯”高二2试）如果对于任意实数x,都有y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x
4、－2008︱≥m成立,那么m的最大值是：（A）1003×1004（B）10042（C）1003×1005（D）1004×1005解析:m的最大值，即是y的最小值。绝对值和式共2008项，中间两项分别是1004和1005，当且仅当x∈﹝1004,1005﹞时，y能达到最小，取x＝1004或x＝1005代人，ymin＝10042,故选（B）.例3y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＞4，求x的解集。解析:共4项，中间两项分别是2和3，当且仅当x∈﹝2,3﹞时，ymin＝4。所以原不等式的解集是｛x︱x＜2或x＞3｝.例4（200
5、9上海卷理13题）某地街道呈现东西和南北方向的网格状，相邻街距都是1。两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2,2），（3,1），（3,4），（-2,3），（4,5）（6，6）为报刊零售点。请确定一个格点（除报刊零售点外）为发行点，使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短，则发行点的坐标为（）解析:设格点为（x,y）,则格点到各零售点的距离之和为︱x＋2︱＋︱x＋2︱＋︱x－3︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＋︱x－6︱＋︱y－1︱＋︱y－2︱＋︱y－3︱＋︱y－4︱＋︱y－5︱＋︱y－6︱x系列共
6、6项，中间两项都为3，当且仅当x＝3时，这一部分和值达到最小；y系列共6项，中间两项为3和4，当且仅当y∈〔3,4〕时，这一部分和值达到最小。所以（x,y）可取点（3，3）或（3,4），由题意舍去（3,4），所以只能选（3，3）。例5求y＝︱2x－1︱＋︱2x－2︱＋︱2x－3︱＋︱2x－4︱＋︱2x－5︱的最小值解析:令t＝2x，则y＝︱t－1︱＋︱t－2︱＋︱t－3︱＋︱t－4︱＋︱t－5︱,共5项，中项为3，当t＝3即x＝㏒23，ymin＝6例6求y＝︱㏒2X＋1︱＋︱㏒2X－1︱＋︱㏒2X－2︱＋︱㏒2X－4︱＋︱㏒2X－6︱的最
7、小值解析：令t＝㏒2X，则y＝︱t＋1︱＋︱t－1︱＋︱t－2︱＋︱t－4︱＋︱t－6︱共5项，中项为2，，当且仅当t＝2即x＝4时，ymin＝7。例7求y＝︱x2＋2x－1︱＋︱x2＋2x－2︱＋︱x2＋2x－3︱的最小值。解析：令t＝x2＋2x，则y＝︱t－1︱＋︱t－2︱＋︱t－3︱共3项，中项为2，当且仅当t＝2即x2＋2x＝2时，y有最小值，对x2＋2x＝2求解，得x＝－1±，此时ymin＝2.练习（1）求y＝︱x＋1︱＋︱2x－6︱＋︱3x－6︱的最小值（2）求y＝︱x－6︱＋︱x－6︱的最小值分析：（1）y=︱x＋1︱＋︱x
8、－2︱+︱x－2︱＋︱x－2︱+︱x－3︱+︱x－3︱,共6项，中间两项都为2，代人2即可。（2）y=〔︱x－6︱＋︱x－6︱+︱x－12︱〕,中项为6，代人6即可。
