含参二次函数中绝对值问题的解题策略

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1、·32·中学数学研究2015第9期的结论，即后·k恒为定值．，设直线CD与轴交于点P(￡，。)，由c、。、事实上，在以上探究的过程中若进行进一步的研究就会得到另一个结论：2abk当A、为曲线的顶点时，若直线CD与曲线的P三点共线知cP=，即—薪22b2=对称轴交于点P，则有OM·OP为定值．卜以椭圆为例：2abkL如图3，若B、A为椭圆a————，整理得(+)(。矗：+6)￡=2，r一一+告=l(0>b>0)的左右。2+6。～U顶点，C、D分别是椭圆上异于．(一k2)(a：+6)口，解得={。，在推广B、的动点．设直线CD交轴于点P，C

2、A与DB交于点图31中令=。_0，得肘=口，O—M·O—P=M，则一OP．O—Q=0．X：。．。：。2M。0(L定疋值阻)．‘证明：设A(a，0)，B(一a，0)，CA：y=k1(～此结论即为2011年高考数学四川卷理科第210)，DB：y=k(+Ⅱ)，将CA方程代入椭圆+题的推广，详见文献[1]，同时本文也给出了文献=1(a>b>0)消Y，得(a2k+b)．9C一2a+『11的另一种解法．a4k一a2b：0，因口与c是该方程的两根，由a·c参考文献=篆一一[1]蒋明斌．2011年高考数学四川卷理科第21题的推广[J]．数学通讯(下半月

3、)2o~2(z)．，同理求==含参二次函数中绝对值问题的解题策略浙江省绍兴市柯桥中学(312030)叶兴炎二次函数是高中数学的基础内容之一，它与二里面的数或式的符号，就需要把问题分段，分类讨次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，三个“’二论，各个击破，从而实现整个问题的解决．分类讨论次”是高考的热点，含参的“二次”问题更是高考的体现了化整为零、积零为整的思想，过程往往比较繁难点．绝对值是中学数学的一个重要概念，它既有代琐，考验解题者的推理能力与运算基本功．数形式，又有几何背景．含参数的二次函数中的绝对例1(2014年浙江丽水高一期末试题

4、改编)值问题，形式新颖、综合性强、思维难度大，要求学生已知函数厂()=一+2I—aI．当a>0时，若不仅能深刻理解题意，还必须具备较好的逻辑推理对任意的∈[0，+o。)，不等式，(一1)≥2f()能力、充足的方法技巧储备，所以对学生而言是高中恒成立，求实数a的取值范围．数学学习的“拦路虎”。本文试图通过归纳解决此类解：由题意得，当a>0时，+2x一1-I-2l一问题的常用解题策略，以期成为学生的“伏虎”手段(a+1)I一4l—al≥0对任意的∈[0，+∞)之一．恒成立．当0≤≤a时，即+4一2n+1≥0对策略一质朴有效的分类讨论任意的∈

5、[0，a]恒成立．记g(x)=+4一2。+解绝对值问题的关键是去掉绝对值符号，转化11，则只需g(0)≥0，得n≤÷，又0>0，则0<Ⅱ≤为不含绝对值符号的问题．但如果不能确定绝对值2015年第9期中学数学研究·33·显示函数性质，在进行抽象思维的同时，利用图像的一．当口<≤1+0时，即一4x+1+6a≥0对二视觉感知，有助于学生对问题的理解和分析，准确把任意的∈(口，1+]恒成立．由前分析知n满足握条件中的定性和定量关系，找到问题解决的途径．10<≤1利用函数图像解题，存在作图不规范、图形不精准等，从而函数h(x)=。一4x+1+6a

6、在缺点，所以在解题过程中要注意细节，以数助形，防∈(口，1+0]上单调递减，则只需h(1+口)≥0，即止增解漏解，必要时要对图形进行推理论证，保证解口+4a一2≥0，得口≤一2一√石或口≥√6—2，又0答的严密性．>0，贝0口≥√6—2．当>1+0时，即+20—3例3(2014年浙江嘉兴高三自主测试试题)≥0对任意的∈(口+1，+∞)恒成立，记()=已知函数／)=0一3，g()=6一+c一，口，6，c+20—3，贝0只需(口+1)≥0即可，即0+4口一1∈尺，且g(一3-)一g(1)=_厂(0)．2≥0，得口≤一2一√6或0≥√6—2，

7、又0>0，贝0o(1)试求6，c所满足的关系式；≥一2．综上，口的取值范围是一2≤0≤1．(2)若b=0，试讨论方程)+I一口lg’()二例2(2014年浙江省五校联盟高三第二次联=0零点的情况．考试题)设函数_厂()=一l一0一9l(口为实解：(1)6，c所满足的关数)，在区间(一∞，一3)和(3，+∞)上单调递增，系式为b—c一1=0．则实数口的取值范围为(2)原方程等价于n一解：令函数g()=一-3x=I一0l(≠0)．0io一9，由于g()的0另I式△当0>0时，作函数Y==a+36>0，故函数g()口一3x，Y2=l一。I的图

8、有两个零点，设为、：，且像，如图2．观察图2，并注意图2』l<0<2．贝0_厂()=至0函数Y=0一3x在点r口戈+9(≤l或≥2)，如＼(，0)处的切线斜率恰为[2x一Ⅱ一9(1<<2)，3，所以两函数图