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时间:2019-05-26
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1、www.ks5u.com 圆锥曲线中的含参问题的解题策略[策略诠释]1.主要类型:(1)含有参数的二元二次方程表示的曲线类型的讨论.(2)含有参数的方程、不等式的求解,如求离心率、渐近线方程中焦点位置的讨论,或求解过程中分母是否等于0的讨论等.(3)含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解,如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为0的讨论,判别式与0的大小关系的讨论.2.解题思路:常常结合参数的意义及对结果的影响,全面分析参数取值引起结论的变化情况分类讨论求解.3.注意事项:(1)搞清分类的原因,准确确定分类的对象和分类的标准,要不重不漏,符合最简
2、原则.(2)最后要将各类情况进行总结、整合.【典例】 (12分)(2014·湖北高考)在平面直角坐标系xOy,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.[审题](1)切入点:根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程.关注点:注意分x≥0,x<0两种情况讨论,最后写成分段函数的形式.(2)切入点:先求出直线l的方程,然后联立直线l与抛物线的方程,消去x,得到关于y的方程,分k=
3、0,k≠0两种情况讨论.关注点:当k≠0时,设直线l与x轴的交点为(x0,0)进而按Δ、x0与0的大小关系再分情况讨论.【解】 (1)设点M(x,y),依题意得
4、MF
5、=
6、x
7、+1,即=
8、x
9、+1,化简整理得y2=2(
10、x
11、+x).2分故点M的轨迹C的方程为y2=4分(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①5分①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.6分②当k≠0时,方程
12、①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③7分(ⅰ)若由②③解得k<-1,或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.8分(ⅱ)若或,由②③解得k∈,或k∈.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.10分(ⅲ)若11分由②③解得-113、两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.12分[变题](2014·湖南高考)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且14、15、+16、=17、18、?证明你的结论.【解】 (1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而a1=1,c2=1.因为点P(,1)在双曲线x2-=1上,所以()2-=1.故b=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,b=a-c=2,故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以19、+20、=2,21、22、=2.此时,23、+24、≠25、26、.当x=-时,同理可知,27、+28、≠29、30、.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx31、+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是2+2+2·≠2+2-2·,即32、+33、2≠34、-35、2,故36、+37、≠38、39、.综合①,②可知,不存在符合题设条件的40、直线.
13、两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.12分[变题](2014·湖南高考)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且
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18、?证明你的结论.【解】 (1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而a1=1,c2=1.因为点P(,1)在双曲线x2-=1上,所以()2-=1.故b=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,b=a-c=2,故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以
19、+
20、=2,
21、
22、=2.此时,
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26、.当x=-时,同理可知,
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30、.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx
31、+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是2+2+2·≠2+2-2·,即
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33、2≠
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35、2,故
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39、.综合①,②可知,不存在符合题设条件的
40、直线.
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