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《2019-2020年高考数学 不等式恒成立问题的几种求解策略练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学不等式恒成立问题的几种求解策略练习不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想【例1】已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.(1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明：a≤2；(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],
2、f(x)
3、≤1的充要条件是b-1≤a≤2;（3）当04、x∈[0,1],5、f(x)6、≤1的充要条件.二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.四、变元转换求解【例6】对7、m8、≤2的一切实数m，求使不等式2x-1>m(x9、2-1)都成立的x的取值范围。1.设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。2.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。3.对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。不等式恒成立问题的几种求解策略（老师用）不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想【例1】已知a>0，函数f10、(x)=ax-bx2.(1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明：a≤2；(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],11、f(x)12、≤1的充要条件是b-1≤a≤2;（3）当013、f(x)14、≤1的充要条件.证明:（1）由已知ax-bx2≤1,得bx2-ax+1≥0.要使bx2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，可知，只需△=a2-4b≤0,∴a<2.(2)15、f(x)16、≤1-1≤f(x)≤1.可知17、f(x)18、≤1的充要条件是当b>1时，2b>b+1，（II）无解。又由b>1，有b>,2b>19、2,∴由(1)得b-1≤a≤2∴20、f(x)21、≤1b-1≤a≤2√b(3)因为a>0,00,022、f(x)23、≤1的充要条件是a≤b+1【评注】此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，24、t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【解析】依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。∴在（-1，1）上恒成立。考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______解原不等式可化为①设t=cosx，则t∈[-1,1],二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为∵a<1,∴,结合抛物线图象知要使②式对一25、切x∈R恒成立，只需即2-a≤a2,∴a≤-2.【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而①1．当n=2k-1时，①式为即②令要使②式对一切k∈N*都成立，只需2.当n=2k时，①式为即③令,要使③式对一切k∈N*都成立，只需综上，①式对任意n∈N*都成立，有即a0的取值范围【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数26、a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.解:令g(x)=
4、x∈[0,1],
5、f(x)
6、≤1的充要条件.二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.四、变元转换求解【例6】对
7、m
8、≤2的一切实数m，求使不等式2x-1>m(x
9、2-1)都成立的x的取值范围。1.设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。2.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。3.对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。不等式恒成立问题的几种求解策略（老师用）不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想【例1】已知a>0，函数f
10、(x)=ax-bx2.(1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明：a≤2；(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],
11、f(x)
12、≤1的充要条件是b-1≤a≤2;（3）当013、f(x)14、≤1的充要条件.证明:（1）由已知ax-bx2≤1,得bx2-ax+1≥0.要使bx2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，可知，只需△=a2-4b≤0,∴a<2.(2)15、f(x)16、≤1-1≤f(x)≤1.可知17、f(x)18、≤1的充要条件是当b>1时，2b>b+1，（II）无解。又由b>1，有b>,2b>19、2,∴由(1)得b-1≤a≤2∴20、f(x)21、≤1b-1≤a≤2√b(3)因为a>0,00,022、f(x)23、≤1的充要条件是a≤b+1【评注】此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，24、t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【解析】依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。∴在（-1，1）上恒成立。考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______解原不等式可化为①设t=cosx，则t∈[-1,1],二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为∵a<1,∴,结合抛物线图象知要使②式对一25、切x∈R恒成立，只需即2-a≤a2,∴a≤-2.【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而①1．当n=2k-1时，①式为即②令要使②式对一切k∈N*都成立，只需2.当n=2k时，①式为即③令,要使③式对一切k∈N*都成立，只需综上，①式对任意n∈N*都成立，有即a0的取值范围【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数26、a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.解:令g(x)=
13、f(x)
14、≤1的充要条件.证明:（1）由已知ax-bx2≤1,得bx2-ax+1≥0.要使bx2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，可知，只需△=a2-4b≤0,∴a<2.(2)
15、f(x)
16、≤1-1≤f(x)≤1.可知
17、f(x)
18、≤1的充要条件是当b>1时，2b>b+1，（II）无解。又由b>1，有b>,2b>
19、2,∴由(1)得b-1≤a≤2∴
20、f(x)
21、≤1b-1≤a≤2√b(3)因为a>0,00,022、f(x)23、≤1的充要条件是a≤b+1【评注】此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，24、t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【解析】依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。∴在（-1，1）上恒成立。考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______解原不等式可化为①设t=cosx，则t∈[-1,1],二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为∵a<1,∴,结合抛物线图象知要使②式对一25、切x∈R恒成立，只需即2-a≤a2,∴a≤-2.【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而①1．当n=2k-1时，①式为即②令要使②式对一切k∈N*都成立，只需2.当n=2k时，①式为即③令,要使③式对一切k∈N*都成立，只需综上，①式对任意n∈N*都成立，有即a0的取值范围【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数26、a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.解:令g(x)=
22、f(x)
23、≤1的充要条件是a≤b+1【评注】此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。二、分离参数，最值转换【例2】已知向量=(，x+1)，=(1-x，
24、t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。【解析】依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。∴在（-1，1）上恒成立。考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.【例3】使不等式对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______解原不等式可化为①设t=cosx，则t∈[-1,1],二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为∵a<1,∴,结合抛物线图象知要使②式对一
25、切x∈R恒成立，只需即2-a≤a2,∴a≤-2.【例4】设a为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).(1)证明：对任意n≥1,(2)假设对任意n≥1有a>a,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而①1．当n=2k-1时，①式为即②令要使②式对一切k∈N*都成立，只需2.当n=2k时，①式为即③令,要使③式对一切k∈N*都成立，只需综上，①式对任意n∈N*都成立，有即a0的取值范围【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数
26、a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e,f(x)≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.解:令g(x)=
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