高中数学恒成立问题的几种求解策略

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1、高中数学恒成立问题的几种求解策略　　【摘要】恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。笔者结合解题教学实践，对不等式恒成立问题的类型和求解策略作一总结，以期对学生的学习有所帮助。　　【关键词】恒成立问题函数求解策略　　【中图分类号】G633.6【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2014）4-0216-02　　一、二次函数型恒成立问题求解策略　　给定一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)结合一元二次函数的图象以

2、及性质有：　　（1）f(x)>0在x∈R上恒成立；a>0且△<0；　　（2）f(x)<0在x∈R上恒成立上恒成立；a<0且△<0；　　例2：若不等式（m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范围。　　分析：若要应用上面的结论，必须保证二次项系数不为0，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-a是否是0。　　解：当m-1=0时，即m=1时，原不等式化为2>0对任意的x恒成立，满足题意；　　当m-1≠0时，即m≠1时，　　只需5　　，解的m∈（1，9）　　综上所述，实数m的取值范围是m∈[1,9)。　　注:在二次函数型恒成立问题中分类

3、讨论思想用的比较多，凡是涉及二次项系数含有参数的，一般都需要讨论二次项系数是否为0的情况，解题时要注意这一点。　　若给定的一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)中的x取值范围有限制，则可利用零点的分布解决问题。　　例3：设f(x)=x2-mx+2，当x∈[1,+∞)时，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围。　　解：设F(x)=x2-mx+2-m，当△=4(m-1)-（m+2)1成立；当△≥0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为：　　解得-3≤m≤-2。综上可得实数m的取值范围为[-3,1)。　　二、分离参数法求解恒成立问题

4、策略　　在给出的不等式中出现两个变量，并且已知一个变量的范围，求解另一个变量的范围时，如果通过恒等变形直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，将不等式转化为函数的最值问题求解，其一般类型为：　　（1）f(x)>a恒成立af(x)max；f(a)≥g(x)恒成立f(a)≥g(x)max　　例4：已知函数f(x）=lg　　x+-2，若对任意x∈[2,+∞)恒有　　f(x）>0，试确定a的取值范围。　　解：根据题意得：x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成

5、立，即a>5-x2+3x：在x∈[2,+∞)上恒成立，设f(x)=-x2+3x，则f(x)=(x-)2+，当x=2时，f(x)max=2，所以a>2。　　三、消元转化策略求解恒成立问题策略　　消元转化策略：对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决。　　例5：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，当m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，>0若f(x）≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。　　分析:本题不等式中有

6、三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量。　　解：因为f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1，则f(x）≤t2-2at+1对于所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立1≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1,1]恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要　　∴t≤-2或t≥2或t=0。　　四、确定主元法求解恒成立问题策略　　在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中

7、这样的解题过程繁琐。如果能把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，常常可使问题降次，简化。　　例6：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足m≤52的所有m都成立，求x的取值范围。　　分析:若把m看作参数，则题设不等式是关于x的一元二次（或一元一次不等式），处理比较困难，若x把看作参数，m看作主变量，将问题转化为已知m的不等式成立的条件，确定参数的取值范围，求解就比较容易些。　　解：设f(m)=m(x2-1）-（2x-1)，这是一个关于m的一次函数（或者常函数），对满足m≤2的m，f(m)<0恒成立，　　∴　　∴　　解得：

8、