不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用).doc

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1、常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。1变量转换策略例1已知对于任意的aG[-1,1],函数/(x)=tzx2+(2«-4)x+3-t/>0恒成立，求x的取值范围.解析本题按常规思路是分a=0时./U)是一次函数，时是二次函数两种情况讨论,不容易求兀的取值范围。因此，我们不能总是把兀看成是变量，把d看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，兀看成常参

2、数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(d)=(/+2ri)—4x+3在泻卜1,1]时，g⑷>0恒成立，则得[g(l)>0—3—J130恒成立，求q的取值范国.解析本题可以考虑/U)的寥点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,A>()--<-2..A>()-->2即A<0或<2

3、乩2/(-2)>0/(-2)>0丿⑵no/(2)>0即a的取值范围为卜7,2].点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题，可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在兀轴的上方或在兀轴上就行了.3函数最值策略例3已知/(x)=Jr?+ax+3-a,若xg[-2,2],/(X)>2恒成立，求d的取值范围.解析本题可以化归为求函数/U)在闭区间上的最值问题，只要对于任意xg[-2,2],/(x)min»2.若"[-2,2],/(Jt)>2恒成立-—<-2<=>Vxg[-2,2],/(x)min»2o]2/Wmin=/(-2)=7-3

4、«>2-2<-^<2am2—>2或

5、2或

6、2,/(x)min=/(-y)=3-a--y>2[/Wmin=/(2)=7+a>2即a的取值范围为[-5,-2+2辺].点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法，只要利用f(x)>tn恒成立o/0)伽>加；/(^)/(x)niaxV.本题也可以用零点分布策略求解.4变量分离策略例4已知函数f(X)=

7、.r2-4x-5

8、,若在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图象位于函数./(x)的上方，求£的取值范围.解析本题等价于一个不等式恒成立问题，即对于Vx

9、e[-l,5],d+3R>-x2+4x+5恒成立，式子中有两个变量，可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于2/兀€[-1,5],上丫+3丘>一"+4x+5恒成立0k>兀+’对于yXG[-1,5]恒成立，令x+3_F+4y-i-516V=—:,xg[-1,5]，设兀+3=人/丘[2,8]，贝U)，=-(/+—)+10jw[2,8]，•••当/=4，即x=x+3t时>max=2,：.k的取值范围是Q2.变式若本题中将y=kx+3k改为y=R(x+3)2,其余条件不变，则也可以用变量分离法解.2由题意得，对于Vxw[-1,5],£(兀+3)2>-x

10、2+4x+5恒成立oR>~X+对于U+3)22Vxg[-1,5]恒成立，令尸_厂+4：+5,炸[_i,5],设x+3=r,ze[2,8],则(x+3)216104579亠一(厂卫怙心,8],・・・当芦汕「时，从〒・•・£的取值范围是咗.点评本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数"，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为''二次函数型"，从而求得最值.本题也可以用零点分布霞略和函数最值策略求解.练习：在AABC中，已知/(B)=4sinBsin2(-

11、+-)+cos2B,且

12、/(B)—加

13、v2恒成42立，求实数m的范围。解析：由/(B)=4sinBsin$(彳+号)+cos2B二2sinB+1,・・•0vBv矩/.sinBe(0,1]/(B)g(1,3],・/

14、/(B)-m

15、<2,/.-20,aH1J(兀)=x2-a^xe(一1,1)时，有/(x)<%恒成立,求实数a的取值范围。解析：由得在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在X—1和x=l处相交，则由I2-~=a及(一1)2一丄二宀得到&分别等于2和0.5,

16、并作出函数22),二2”及y=(丄)”的图象，所以，要想使函数x2--