浅谈函数解析式的求法

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1、浅谈函数解析式的求法函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁，求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类形活、方法多。本人就教学中常见的函数的解析式表达形式和求法略举例如下：1.图象法(如果条件给出的是分段函数模型)例1已知函数y=/(x)的图象如图所示.比较两段解析式容易的/(x)=

2、-

3、

4、x-l

5、,0

6、)例2例4:已知/(x--)=x2+4+B求函数/⑴的解析式。XX解：/U--)=x2-2+4+3=(x--)2+3XX令兀一丄贝lJf(t)=t2+3X所以f(x)=x2+3评注：已f[g(x)]=h(x),求兀)的问题,可先用g(x)表示/?(%),然后再将g(兀)用兀代替,即得/⑴的解析式.例已知/(1+丄)=4—2,求f(x)oXXW:/(I—)=-；—2=(1—)~—2(1—)—1，f(a^)=x~—2x—1(兀工1)。XXXX注意：使用配凑法也要注意自变量的范I韦I限制；3.换元法（如果条件给出复合函

7、数模型，注意满足范围才能取代）例3已知/(1+2a/7)=2x+VL求函数/(x)的解析式.解：令1+2仮=/,贝牴=上丄（宀1）（引入新元要标注范围）4•:+¥=^~^（宀1）从而/（尢）=*2兀（兀»1）1—y1—V"例已知/（「）=』,求/'⑴的解析式。l+x1+0解令戶#则“戶，于是八）=各，所以门兀）=斗・1+X1+Z1+厂1+X例已知/（仮+1）=兀+2頁，求f（x）c解:（换元法）令Vx+l=r,贝ijx=（r-l）2（r>1）,/（O=r-1所以fM=x2-（配凑法）/（V7+1）=（V7+1）

8、2-1所以/（x）=x2-l评注：1、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。2、已知/ig（x）］=加兀）,求/（兀）的问题，若用配凑法难求时,则可设g（x）=r,从中解出x,代入加切进行换元来解.在换元的同时，一定要注意“新元”的取值范围.4・待定系数法（如果函数类型给定时）当函数类型给定，且函数某些性质己知，我们常常可以使用待定系数法來求其解析式。例4已知二次函数满足/（3兀+1）=9兀2_6兀+5,求/©）;解：设/（x）=ax2+bx+c{a0）则f（3x+1）

9、=a（3兀+1）2+b（3x+1）+c=9a2Al-（6a+3b）x+a+h+c乂有f(3x+1)=9x2-6x+59a=9=—4x+8所以<6d+3方=—6o

10、。工0,兀1与兀2是方程/0)=0的两根解法1：设f(x)=ax2+bx+c(°工0),则图象经过点(0,1)知：/(0)=1,即c=l•:/(兀)=处'+加+1出/(x-2)=/(-x-2)tz(x—2)2+b(x—2)+1—6/(—x—2)2+b(—x—2)+1整理得：(4q-b)x=0即：4a-b=0②由被x轴截得的线段长为2血知，丨歼-兀21=2血，即(%!-x2)2=(%,+x2)2-4xjX2=8h1即(―£)2—4丄=8aa整理得：b2—4a=Sa2③出②③得：a-—,b-22・・・/(x)=1x2

11、+2x+1解法2：由/(x-2)=/(-%-2)知：二次函数对称轴为x=-2,所以设/(x)=a(x+2)2+k(ah0)；以卜从略。解法3：由/(x-2)=/(-%-2)知：二次函数对称轴为x=-2；由被无轴截得的线段长为2"知，丨旺-无21=2血；易知函数与兀轴的两交点为(-2-72,0)(-2+72,0)，所以设/(x)=a{x+2+V2)(x+2-V2)(a工0),以下从略。注：1、例4可以用换元法和配凑法解。2、用待定系数法解注意题冃中给出的条件选择合适的方法，起到事半功倍的效果。5・解方程组法(如果自

12、变量成倒数或相反数时)例5已知2/(%)+/(I)=x,求/(x)的解析式.解：已知2/(x)+/(-)=xX①将①中变量x换成丄，得X2/(-)+/(%)=-XX②联立①、②可得方程，消去/(丄)得£/、21f(x)X•33兀例已知2/(x)+f(-x)=3x+2,求f(x)解:已知2/(%)+/(-%)=3无+2(1)将(1)中兀换成一兀，得2/(-%)+/(%)=—