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时间:2019-01-09
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1、函数解析式的求法探究 由实际问题建立函数关系式,一般可通过研究自变量与函数间的等量关系,再确定自变量的取值范围。根据条件求函数表达式是高中数学的重要内容,也是教学难点。对此,本文将介绍几种求函数表达式的常用方法。 1.定义法(配方法) 由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成为g(x)的表达式,然后以x代g(x),便得f(x)的表达式。 例1已知f()=,求f(x)的表达式。 解∵=()2-+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1)。 2.待定系数法 由未知出发的转化,通常设一个函数,来求这
2、个函数的系数。 例2已知f(x+2)=x2+x+2,求f(x)的表达式。 解设f(x)=ax2+bx+c, ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a+2b+c, 又f(x+2)=x2+x+2,比较同类项的系数,得a=1, 4a+b=-3, 4a+2b+c=5。∴a=1, b=-7, c=15。∴f(x)=x2-7x+15。4 3.变量代换法 由已知条件f[g(x)]=F(x),可令t=g(x),然后反解出x=g-1(t)。代入F(x)即可得f(t)的表达式。
3、 例3已知f(ex-1)=2x2-1,求f(x)的表达式。 解令t=ex-1(t>0),则x=1+lnt,代入已知, 得f(t)=2(1+lnt)2-1=2ln2t+4lnt+1, 即f(x)=2ln2x+4lnx+1(x>0)。 4.函数方程法 将f(x)作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得f(x)的表达式。 例4已知af(xn)+f(-xn)=bx,其中a2≠1,n为奇数,试求f(x)的表达式。 分析已知是关于f(xn)和f(-xn)的一个方程,利用n为奇数,用-x代x, 又
4、得到一个f(xn)和f(-xn)的一个方程。 由这两个方程构成的方程组便可求出f(xn),即可得f(x)。 解∵af(xn)+f(-xn)=bx,① 以-x代x,又得 af(-xn)+f(xn)=-bx。② 解由①、②式构成的方程组,得 f(xn)?(a2-1)=b(a+1)x。故a2≠1,∴f(xn)=x, 即f(x)=。4 5.参数法 引入某个参数,然后写出用这个参数表示变量的式(即参数方程),再消去参数便得f(x)的表达式。 例5已知f(3sinx)=ctg2x,求f(x)的表达式。 解可
5、令x=3sinθ y=ctg2θ,即x=3sinθ y=csc2θ,消去θ便得y=()2-1, 于是得f(x)=-(-3≤x≤3,且x≠0)。 6.特殊法 在已知条件中将某些字母(变量)取特殊值,使问题具体化、简单化,从而求得f(x)的表达式。 例6已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),且f(0)=1,求f(x)的表达式。 解可令x=0得f(-y)=1-y(-y+1), 再以x代-y,便得f(x)=1+x(x+1), 即f(x)=x2+x+1。 7.图象法 函数的图象是函数表示的一种形
6、式,在解题过程中通常把函数图象改写成f(x)的表达式,数形结合是数学解题的常用的基本的思想方法。 例7根据函数y=f(x)的图象,求f(x)的表达式。 解∵图象是线段,∴函数关系式是一次式,于是分段 可设f(x)=kx+b,利用侍定系数法,4 可得f(x)= x+1,(-2≤x<0) x-1,(0≤x<2)4
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