（广东专版）2019高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 专题强化练五 导数的综合应用 理

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1、专题强化练五导数的综合应用一、选择题1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f(x)＞0的解集是(　　)A．(－2，0)∪(2，＋∞)　　B．(－2，0)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0，2)解析：当x＞0时，′＝＜0，所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，所以当且仅当0＜x＜2时，φ(x)＞0，此时x2f(x)＞0.又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．答案：D2．(2018·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为

2、[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案：D3．(2018·广东二模)已知函数f(x)＝ex－lnx，则下面对函数f(x)的描述正确的是(　　)A．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤2B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞2C．∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝0D．

3、f(x)min∈(0，1)解析：因为f(x)＝ex－lnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ex－＝，令g(x)＝xex－1，x＞0，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)·g(1)＝－(e－1)＜0，所以∃x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(x0)＝ex0－lnx0，又ex0＝，x0＝－lnx0，所以f(x)min＝＋x0＞2.答案：B4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则(　　)A．3f(1)＜f(3)B

4、．3f(1)＞f(3)C．3f(1)＝f(3)D．f(1)＝f(3)解析：由于f(x)＞xf′(x)，则′＝＜0恒成立，因此y＝在R上是单调减函数，所以＜，即3f(1)＞f(3)．答案：B5．(2018·佛山市质检)已知函数f(x)＝若m＜n，且f(m)＝f(n)，则n－m的最小值是(　　)A．3－2ln2B．e－1C．2D．e＋1解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．若m＜n，且f(m)＝f(n)，则当lnx＝1时，得x＝e，因此1＜n≤e，－1＜m≤1.又lnn＝m＋，即m＝2lnn－1.所以n－m＝n－2lnn＋1，设h(n)＝n－2lnn＋1(1＜n≤e)，则h′(n)＝1－.

5、当h′(n)＞0，得2＜n≤e；当h′(n)＜0，得1＜n＜2.故当n＝2时，函数h(n)取得最小值h(2)＝3－2ln2.答案：A二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27πdm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________dm.解析：设圆柱的底面半径为Rdm，母线长为ldm，则V＝πR2l＝27π，所以l＝，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，所以S′表＝2πR－.令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案：37．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个不同实数x1，x2，使得xif(xi)＝1(i＝1，2)

6、成立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)＝具有性质P，则实数a的取值范围为________．解析：依题意，xf(x)＝1，即＝1在R上有两个不相等实根，所以a＝xex在R上有两个不同的实根，令φ(x)＝xex，则φ′(x)＝ex(x＋1)，当x＜－1时，φ′(x)＜0，φ(x)在(－∞，－1)上是减函数；当x＞－1时，φ′(x)＞0，φ(x)在(－1，＋∞)上是增函数．因此φ(x)极小值为φ(－1)＝－.在同一坐标系中作y＝φ(x)与y＝a的图象，又当x＜0时，φ(x)＝xex＜0.由图象知，当－＜a＜0时，两图象有两个交点．故实数a的取值范围为.答案：8．(2018·江苏卷改编)

7、若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[0，1]上的最大值是________．解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，①当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意，因此a＞0.②当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜