广东高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式专题强化练四导数与函数的单调性极值与最值理.doc

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1、专题强化练四导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为(　　)A．y＝x＋1　　　　B．y＝x－1C．y＝3x＋1D．y＝－x＋1解析：求导函数得y′＝ex＋2，当x＝0时，y′＝e0＋2＝3，所以曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.答案：C2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)解析：法一　易知函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，所以只需研究y＝－x4＋x2＋2在x＞0时的图象与性质．又y′＝－4x3＋2x(x＞0)，令y′＞0，得0＜x＜；令y′＜0，得x＞所以y＝－x4＋

2、x2＋2在上递增，在上递减．因此选项D满足．法二　令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2＞2，排除C.答案：D3．(2018·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，2]B．[4，＋∞)5C．(－∞，2]D．(0，3]解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为f(x)＝x2－9lnx在[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1＜a≤2.答案：A4．(2018·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－(e是自然对数的底数)，则f(

3、x)的极大值为(　　)A．2e－1B．－C．1D．2ln2解析：由题意知f′(x)＝－，所以f′(e)＝－，f′(e)＝，所以f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e，当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0，当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln2.答案：D5．(2018·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)A

4、．2折函数B．3折函数C．4折函数D．5折函数解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点．又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点，5又e－2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．答案：C二、填空题6．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．解析：因为f′(x)＝ex·＋exlnx＝ex.所以f′(1)＝e(1＋ln1)＝e

5、.答案：e7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点O(0，0)处的切线方程为________．解析：由于y′＝，所以k＝y′x＝0＝＝2，所以切线方程为y＝2x.答案：y＝2x8．(2017·山东卷改编)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是________(填序号)．①f(x)＝2－x;②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x;④f(x)＝cosx.解析：若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(

6、x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)＞0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意；只有①f(x)＝2－x具有M性质．答案：①三、解答题9．已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝ex·cosx－x，所以f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.(2)f′(x)＝ex(cosx－s

7、inx)－1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2sinx·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，5所以g(x)在上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且在x＝0处等号成立，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.10．已知f(x)＝lnx＋.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x＞0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，求正数a的取值范围．解