（广东专版）2019高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数 专题强化练四 导数与函数的单调性、极值与最值 文

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1、专题强化练四导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为(　　)A．y＝x　　B．x＝0　　C．y＝0　　D．不存在解析：函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0.答案：C2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)解析：法一　易知函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，所以只需研究y＝－x4＋x2＋2在x＞0时的图象与性质．又y′＝－4x3＋2x(x＞0)，令y′＞0，得0＜x＜；令y′

2、＜0，得x＞所以y＝－x4＋x2＋2在上递增，在上递减．因此选项D满足．法二　令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2＞2，排除C.答案：D3．(2018·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，2]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]D．(0，3]解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为f(x)＝x2－9lnx在[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1＜a≤2.答案：A4．(2018·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝2ef′

3、(e)lnx－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　)A．2e－1B．－C．1D．2ln2解析：由题意知f′(x)＝－，所以f′(e)＝－，f′(e)＝，所以f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e，当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0，当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln2.答案：D5．(2018·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f

4、(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)A．2折函数B．3折函数C．4折函数D．5折函数解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点．又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点，又e－2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．答案：C二、填空题6．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．解析：

5、因为f′(x)＝ex·＋exlnx＝ex.所以f′(1)＝e(1＋ln1)＝e.答案：e7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由y＝2lnx，得y′＝，所以k＝y′x＝1＝2.所以切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.答案：2x－y－2＝08．(2018·郴州三模)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．解析：当x＞0时，f(x)＝－1，f′(x)＝，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以x＝1时，f(x)

6、取到极小值e－1，即f(x)的最小值为e－1.又f(x)为奇函数，且x＜0时，f(x)＝h(x)，所以h(x)的最大值为－(e－1)＝1－e.答案：1－e三、解答题9．已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝ex·cosx－x，所以f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.(2)f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，令g(x)

7、＝f′(x)，则g′(x)＝－2sinx·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，所以g(x)在上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且在x＝0处等号成立，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.10．已知f(x)＝lnx＋.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x＞0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，求正数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝－＝，x∈(0，＋∞)．①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值．②当a＞0时，x∈(