广东高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式专题强化练五导数的综合应用理.doc

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1、专题强化练五导数的综合应用一、选择题1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f(x)＞0的解集是(　　)A．(－2，0)∪(2，＋∞)　　B．(－2，0)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0，2)解析：当x＞0时，′＝＜0，所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，所以当且仅当0＜x＜2时，φ(x)＞0，此时x2f(x)＞0.又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．答案：

2、D2．(2018·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.9答案：D3．(2018·广东二模)已知函数f(x)＝ex－lnx，则下面对函数f(x)的描述正确的是(　　)A．∀

3、x∈(0，＋∞)，f(x)≤2B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞2C．∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝0D．f(x)min∈(0，1)解析：因为f(x)＝ex－lnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ex－＝，令g(x)＝xex－1，x＞0，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)·g(1)＝－(e－1)＜0，所以∃x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(x0)＝ex0－lnx0，又ex

4、0＝，x0＝－lnx0，所以f(x)min＝＋x0＞2.答案：B4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则(　　)A．3f(1)＜f(3)B．3f(1)＞f(3)C．3f(1)＝f(3)D．f(1)＝f(3)解析：由于f(x)＞xf′(x)，则′＝＜0恒成立，因此y＝在R上是单调减函数，所以＜，即3f(1)＞f(3)．答案：B5．(2018·佛山市质检)已知函数f(x)＝若m＜n，且f(m)＝f(n)，则n－m的最小值是(　　)A．3－2ln2B．e－1C．2D．e＋19解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．

5、若m＜n，且f(m)＝f(n)，则当lnx＝1时，得x＝e，因此1＜n≤e，－1＜m≤1.又lnn＝m＋，即m＝2lnn－1.所以n－m＝n－2lnn＋1，设h(n)＝n－2lnn＋1(1＜n≤e)，则h′(n)＝1－.当h′(n)＞0，得2＜n≤e；当h′(n)＜0，得1＜n＜2.故当n＝2时，函数h(n)取得最小值h(2)＝3－2ln2.答案：A二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27πdm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________dm.解析：设圆柱的底面半径为Rdm，母线长为ldm，则V＝πR2l＝27π，

6、所以l＝，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，所以S′表＝2πR－.令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案：37．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个不同实数x1，x2，使得xif(xi)＝1(i＝1，2)成立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)＝具有性质P，则实数a的取值范围为________．解析：依题意，xf(x)＝1，即＝1在R上有两个不相等实根，所以a＝xex在R上有两个不同的实根，令φ(x)＝xex，则φ′(x)＝ex(x＋1)，当x＜－1时，φ′(

7、x)＜0，φ(x)在(－∞，－1)上是减函数；9当x＞－1时，φ′(x)＞0，φ(x)在(－1，＋∞)上是增函数．因此φ(x)极小值为φ(－1)＝－.在同一坐标系中作y＝φ(x)与y＝a的图象，又当x＜0时，φ(x)＝xex＜0.由图象知，当－＜a＜0时，两图象有两个交点．故实数a的取值范围为.答案：8．(2018·江苏卷改编)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[0，1]上的最大值是________．解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，①当a≤0时，f′(

8、x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意，因此a＞0.②当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝.当0＜x＜时，f′(