《概率论》第二章习题

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1、第二章事件与概率1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则，。利用乘法公式，所求的概率为2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B

2、A），则.3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1

3、）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。3、解：（1）M件产品中有m件废品，件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然，则，题中欲求的概率为.（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然，则.题中欲求的概率为.（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=.精选范本,供参考！4、袋中有a只黑球，b只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出

4、一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（）。解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得.5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，。则，;。由全概率公式得欲求的概率为.6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有只白球，只黑球，某人从甲袋中任出两

5、球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得.7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b精选范本,供参考！只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中，

6、…，再从第袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，。则.一般设，则，得.由数学归纳法得8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分仅中一弹}，A4={其它情况}，则A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一

7、弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，，设B={飞机被击落}，则由全概率公式得错误算法：，设B={飞机被击落}，则由全概率公式得原因是忽略了飞机中弹的次序。精选范本,供参考！9、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回时出正面的概率，并讨论当时的情况。解：设Ai={第i回出正面}，记，则由题意利用全概率公式得。已知，依次令可得递推关系式解得当时利用等比数列求和公式得（*）（1）若

8、，则；（2）若，则当时，；当时，。若，则若，则不存在。（3）若，则由（*）式可得10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当时的情况。解：令分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得精选范本,供参考！，，.这

9、里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得递推关系式为，初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得，.11、设一个家庭中有n个小孩的概率为精选范本,供参考！这里。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有个男孩的概率为。解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得由全概率公式得（其中）12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭