《概率论》第二章习题

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《概率论》第二章习题中国民航机票网:www.161580.com第二章事件与概率1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则 P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)?5432P(A5A4A3A2A1)?1。利用乘法公式，所求的概率为 P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??22111????1?5432302、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B|A），则P?BA??P(AB)6/86??.P(A)7/873、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解：（1）M件产品中有m件废品，M?m件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废112222品}，显然A?B，则P(A)?CmCM?m?Cm/CMP(B)?Cm，/CM??题中欲求的概率为 22Cm/CMm?1P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11.?22(CmCM?m?Cm)/CM2M?m?1（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然B?A，则2112112P(A)?CM?m?CmCM?m/CM,P(B)?CmCM?m/CM.?? 题中欲求的概率为112CmCM2m?m/CMP(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2.?112(CM?m?CmCM?m)/CMM?m?1（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=CmCM?m?Cm/CM??112?2m(2M?m?1).M(M?1) 《概率论》第二章习题-1-4、袋中有a只黑球，b只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（b?3）。解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则P(A)?a甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得(a?b) P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|)?bb?1abb????a?ba?b?1a?ba?b?1a?b甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)?P()P(C|)?b(b?1)b?2abb?1???(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b???(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?b(a?b?1)(a?b?2)b.?(a?b)(a?b?1)(a?b?2)a?b 5、从{0，1，2，?，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，i?0,1,?,9。则P(Ai)?1，10P(B|A0)?P(B|A1)?0,P(B|Ai)?(i?1)/9,i?2,3,?5;P(B|Aj)?(j?2)/9, j?6,7,8,9。由全概率公式得欲求的概率为P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?0916?0.356.45 6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有?只白球，?只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得 P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)221222CaCa?2c1cbCaCbC??1.?22?22?22aca?bc????2Ca?bC????2Ca?bC????27、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从 《概率论》第二章习题-2-第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，??，Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中，?，再从第i?1袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，i?1,?,N。则P(A1)? 一般设P(Ak)?ab.,P(1)?a?b(a?b)ab，则P(k)?，得(a?b)(a?b)P(Ak?1)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?P(Ak?1|k)P(k)?a.(a?b)由数学归纳法得P(AN)?a(a?b) 8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分仅中一弹}，A4={其它情况}，则 AiAj??(i?j),A1?A2?A3?A4??.P(A1)?0.1?0.1?0.01,P(A2)?0.2?0.2?0.04.A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}， P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.2?0.1?0.7?0.1?0.18，P(A4)?1?[P(A1)?P(A2)?P(A3)]?0.77.设B={飞机被击落}，则P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0. 由全概率公式得P(B)?错误算法：?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.18?0.23.iii?1P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.09， 设B={飞机被击落}，则P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.由全概率公式得P(B)??P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.09?0.14.ii i?1原因是忽略了飞机中弹的次序。《概率论》第二章习题-3-9、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n 回时出正面的概率，并讨论当n??时的情况。解：设Ai={第i回出正面}，记pi?P(Ai)，则由题意利用全概率公式得P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|i)P(i) ?pp?p)?(p2?1)i?(1?p)(1iip?已知pi?c，依次令i?n?1,n?2,?,1可得递推关系式。(1?pPn?(2p?1)pn?1?(1?p),Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?, P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1)c?(1?p).解得Pn?(1?p)[1?(2p?1)?(2p?1)2???(2p?1)n?2]?c(2p?1)n?1,当p?1时利用等比数列求和公式得 111?(2p?1)n?1pn?(1?p)?c(2p?1)n?1??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1.（*）221?(2p?1)（1）若p?1，则pn?C,limpn?C；n?? （2）若p?0，则当n?2k?1时，pn?c；当n?2k时，pn?1?c。若c?111，则pn?,limpn?22n??211，则c?1?c,limpn不存在。n??2若c?（3）若0?p?1，则由（*）式可得 ?11?1limpn?lim??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1??.n??n??22??210、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n??时的情况。 解：令Ai,Bi,Ci分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)《概率论》第二章习题-4- ?0?pn?11qn?0?rn?qn，44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)?1?pn?11qn?1?rn?pn?qn?rn,，22rn?1?P(Cn?1)?P(An)P(Cn?1|An)?P(Bn)P(Cn?1|Bn)?P(Cn)P(Cn?1|Cn) 11?0?pn?qn?0?rn?qn.44这里有pn?1?rn?1，又pn?1?qn?1?rn?1?1，所以qn?1?1?2pn?1，同理有qn?1?2pn，再由pn?1?11qn得pn?1?(1?2pn)。所以可得递推关系式为441??rn?1?pn?1?(1?2pn)，?4??qn?1?1?2pn?1 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即p0?r0?0,q0?1，由递推关系式得rn?1?pn?1?1111111111(1?2pn)??pn??(?pn?1)???pn?1??442424248411(?1)n?2(?1)n?1p0?2?3???n?2??2222n?11??1??1????4???2?n?1?????1?1?????2? 1??1???1?(?1)n?1???6??2??n?1n?2?111??n???(?1)????，3?2???6qn?1?1?2pn?121?1???(?1)n?1????33?2?n?1.limpn?limrn?n??n??12,limqn?.6n??3 11、设一个家庭中有n个小孩的概率为?apn,n?1,?appn??1?,n?0,??1?p《概率论》第二章习题-5- 这里0?p?1,0?a?(1?p)/p。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有k(k?1)个男孩的概率为2apk/(2?p)k?1。解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,?，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布(p?1)得2?1??1?P(B|An)?C?????2??2?knkn?k?1??C??.?2?k nk?in由全概率公式得??1??p?P(B)??P(An)P(B|An)??apnC???a?Cki?i???2??2?i?0n?kn?k??nkn（其中i?n?k）?p??a???2? k?Ci?0?ik?i?p??p??a????2???2?ikp???1???2??k?1`2apk?.k?1(2?p)12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。A?B,AB?B，由0?p?1得(2?p)2apkP(A)??k?1k?1(2?p)?p2a(2?p)ap???,2(1?p)2?p(2?p)(1?p) (2?p)2apkP(B)??k?1k?2(2?p)?p22a(2?p)2ap2,???2?p2(1?p)(2?p)2(1?p) (2?p)P(B|A)?P(AB)P(B)p??.P(A)P(A)2?p（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数}，则 ?ap?1?P(C)?1???apn??1?pn?1?2?n《概率论》第二章习题-6-ap apapap2?3p?ap?p2?1???1???p1?p1?p2?p(1?p)(2?p)1?2A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则P(A1)?ap?11?ap，且A1?C，22所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为 P(A1|C)?P(A1C)P(A1)1apap(1?p)(2?p).???22P(C)P(C)22?3p?ap?p2(2?3p?ap?p)(1?p)(2?p) 13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知P(B|A)?0.98，P(B|)?0.05，P(A)?0.96，求P(A|B)。由贝叶斯公式得P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?P(B)P(A)P(B|A)?P()P(B|) ?0.96?0.980.9408??0.99790.96?0.98?0.04?0.050.942814、炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各该处射击时命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率。解：设A1,A2,A3分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B为“命中目标”事件，则P(A1)?0.1,P(A2)?0.7，P(A3)?0.2,P(B|A1)?0.05,P(B|A2)?0.1， P(B|A3)?0.2，求P(A1|B)。Ai间互不相容，B能且只能与Ai中之一同时发生，由贝叶斯公式得P(A1|B)??P(B|A1)P(A1)P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)0.05?0.11??0.0435.0.05?0.1?0.1?0.7?0.2?0.22315、在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3， 《概率论》第二章习题-7-0.4，0.3，由于通道噪音的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接受到其它字母的概率为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA，问被传送是AAAA的概率。解：记事件“发AAAA”为A4，事件“发BBBB”为B4，事件“发CCCC”为C4，事件“收ABCA”为D，则P(A4)?0.3,P(B4)?0.4,P(C4)?0.3,为求P(A4|D)，考虑到发AAAA，而收到ABCD，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故P(D|A4)?0.62?0.22?0.0144。同理可求得P(D|B4)?P(D|A4)?0.6?0.23 ?0.0048，欲求的概率是P(A4|D)，而事件A4,B4,C4间两两互不相容，又D能且只能与A4,B4,C4之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为P(A4)P(D|A4)P(A|D)?444444P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)4?0.3?0.01449??0.56250.3?0.0144?0.4?0.0048?0.3?0.00481616、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。 证：（1）P((A?B)?C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(C)[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(C)P(A?B)， ∴A?B与C独立。（2）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)∴AB与C独立。 （3）P((A?B)C)?P(AC)?P(AC(??B))?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(C)[P(A)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，∴A?B与C独立。 17、若A，B，C相互独立，则,,亦相互独立。证：P()?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?PAB)]1?P(B))?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?(1?P(A))(?P()P()， 《概率论》第二章习题-8-同理可证P()?P()P(),P()?P()P().又有 P()?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)??1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)? ?P(A)P(B)P(C)?(1?P(A))(1?P(B))(1?P(C))?P()P()P()，所以,,相互独立。18、证明：事件A1,A2,?,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立： ?A???)P(A?)?P(A?)，P(A12?An)?P(A12n?取A或。其中Aiii?取证：必要性。事件A1,A2,?,An相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集Ai i的形式。当m?1时，P(1A2?An)?P(A2?An)?P(A1?An)?P(A1?An)?P(A2)?P(An)?P(A1)?p(An)?P(1)P(A2)?P(An)。设当m?k时有 P(1?AkAk?1?An)?P(1)?P(k)P(Ak?1?An),则当m?k?1时P(1?k?1Ak?2?An)?P(1?kAk?2?An)?P(1?kAk?1?An) ?P(1)?P(k)P(Ak?2)?P(An)?P(1)?P(k)P(Ak?1)?P(An)?P(1)?P(k)(1?P(Ak?1))P(Ak?2)?P(An)?P(1)?P(k)P(k?1)P(Ak?2)?P(An)从而有下列2n式成立： ?A???)P(A?)?P(A?),P(A12?An)?P(A12n《概率论》第二章习题-9-?取A或。其中Aiii充分性。设题中条件成立，则 P(A1?An)?P(A1)?P(An),(1)P(A1?An?1n)?P(A1)?P(An?1)P(n).(2)∵A1?An?1An?A1?An?1n??, ∴P(A1?An?1)?P(A1?An?1An?A1?An?1n).(1)+(2)得P(A1?An?1)?P(A1)?P(An?1)。(3)同理有P(A1?An?2n?1An)?P(A1)?P(An?2)P(n?1)P(An), P(A1?An?2n?1n)?P(A1)?P(An?2)P(n?1)P(n)两式相加得P(A1?An?2n?1)?P(A1)?P(An?2)P(n?1).（4） (3)+(4)得P(A1?An?2)?P(A1)P(A2)?P(An?2)。同类似方法可证得独立性定义中2?n?1个式子，∴A1,?,An相互独立。 19、若A与B独立，证明{?,A,,?}中任何一个事件与{?,B,,?}中任何一个事件是相互独立的。证：P(??)?P(?)?0?0?P(?)P(?),P(??)?0?P(?)P(?),P(??)?1?P(?)P(?),P(?B)?P(B)?P(?)P(B), P(?A)?P(A)?P(?)P(A),P()?P()P()（见本章第17题），P(A)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B)， 同理可得P(B)?P()P(B)。证毕。20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）《概率论》第二章习题-10-n 在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。解：P{三次射击恰击中目标一次}=?0.4(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)0.5(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)0.7?0.36P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}?1?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.91 21、设A1,A2,?,An相互独立，而P(Ak)?pk，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。解：（1）P{所有的事件全不发生}?P{1?n}?P(1)?P(n)? （2）P{至少发生其一}?P(A1???An)P(A1?An)?1?P(1?n)?1??(1?pk?1nk)。?(1?pk?1nn)。（3）P{恰好发生其一}?p1(1?p2)?(1?pn)?(1?p1)p2(1?p3)?(1?pn)????(1?p1)?(1?pn?1)pn ??pi?1ni?2n?j?i?1?pipj???(?1)n?1n?pi。i?1n22、当元件k或元件k1或k2都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2 发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记A0={元件k发生故障}，A1={元件k1发生故障}，A2={元件k2发生故障}。则P{电路断开}?P(A0?A1A2)?P(A0)?P(A1A2)?P(A0A1A2) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328。23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。解：以Ak表事件“A于第k次试验中出现”，P(Ak)??，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为P(12?n)?P(1)P(2)?P(n)?(1??)n。 于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为《概率论》第二章习题-11-1?P(12?n)?1?(1??)n?1(n??)。 这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得 P{所有零件均为一级品}?0.83?0.72?0.2509。25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌，求（1）至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率。解：利用的二项分布可得 P{至少有一个甲类细菌}?1?P{2n个全是乙类细菌}0?1??1??1?C20?????2??2?n02n?1?2?2n。n2n?1??1?n?1?P{甲，乙两类细菌各占一半}?C?????C2n??。?2??2??2?n 2n26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。解：利用二项分布得 P{至少出现一次正面}?1?P{n次全部出现反面}?1?(1?p)n。1P{至少出现两次正面}?1?(1?p)n?Cnp(1?p)n?1?1?(1?p)n?np(1?p)n?1。27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙、丙获胜的事件，故P(A)?P(B)?P(C)?1的多3项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为3!?1??1??1?3!?1??1??1?p??????????????3!0!0!?3??3??3?2!1!0!?3??3??3?30020?1????。?3?28、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。 解：利用两个的二项分布，得欲求的概率为《概率论》第二章习题-12-p??P{甲掷出i次正面，乙掷出i次正面}i?0n ?1???C???2?i?0inni?1????2?n?1?1??C???2?ini?1????2?n?1?1?????2?2nn?1?(C)?C??。??2?i?0i2nn2n2n29、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。解：事件A出现奇数次的概率记为b，出现偶数次的概率记为a，则 00n22n?2a?Cnpq?Cnpq??，133n?3b?Cnpqn?1?Cnpq??。利用a?b?(p?q)n?1,a?b?(q?p)n，可解得事件A出现奇数次的概率为 b?1111?(p?q)n??(1?2p)n。222??顺便得到，事件A出现偶数次的概率为a?11?(1?2p)n。2230、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。 解：事件“在出现m次之前出现k次A”，相当于事件“在前k?m?1次试验中出现k次A，m?1次，而第m?k次出现”，故所求的概率为Ckk?m?1pkqm?1?q?Ckk?m?1pkqmk?2注：对事件“在出现m次之前出现k次A”，若允许在出现m次之前也可以出现k?1次A， 次A等，这就说不通。所以，事件“在出现m次之前出现k次A”的等价事件，是“在出现m次之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”（记为B）就不一样，即使在出现m次之前出现了k?1次A，k?2次A等，也可以说事件B发生，所以事件B是如下诸事件的并事件：“在出现m次之前恰出现i次A”，i?k,k?1,?。31、甲袋中有N?1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论n??时的情况。 解：设An?{经n次试验后，黑球出现在甲袋中}，n?{经n次试验后，黑球出现在乙袋中}，Cn?{第n次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记pn?P(An),cn?P(n)?1?pn,n?0,1,2,?。当n?1《概率论》第二章习题-13-时，由全概率公式可得递推关系式： pn?P(An|An?1)P(An?1)_P(An|n?1)P(n?1)?P(Cn|An?1)P(An?1)?P(n|n?1)P(n?1)?pn?1?即pn?N?11?qn?1?NN?N?11pn?1?(1?pn?1),NNN?21pn?1?NN(n?1)。 初始条件p0?1，由递推关系式并利用等比级数求和公式得11N?21?N?2?pn????????NNNN?N?1 N??N?2?n????1????N????n?1?N?2????N??n11?N?2??????。n22N???N?2??N?2??1?????N??N??若N?1，则n?2k?1时p?0，当n?2k时pn?1。若N?2，则对任何n有pn?n1。2 若N?2，则limpn?n??1（N越大，收敛速度越慢）。232、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件，试计算下面概率：（1）其中至少有两件废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？ 解：利用普阿松逼近定理，??1000?0.005?5，查表计算得iP{至少有两件废品}??C1000(0.005)i(0.995)1000?1?1?e?5?5e?5?0.9596，i?21000P{不超过5件废品}??C i?25i1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5??e?0.6160。i?0i!5设以90%的概率希望废品件数不超过k，则?C i?2ki1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5??e?0.90，i?0i!k解得k?8。33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多 个终端同时操作的概率。《概率论》第二章习题-14-解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}j??C20(0.3)j(0.7)20?j?0.9829。 j?01034、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。解：利用普阿松逼近定理计算??5000?0.001?5，则打中两弹或两终以上的概率为p?1?(0.999)5000?5000(0.999)4999?0.001?1?e?5?5e?5?0.9596 35、某个厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6，现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：设A表事件“某事实际上是可行的”，表事件“某事实际上是不可行的”，B表“多数人说可行”，表“多数人说不可行“，利用二项分布得 iP(B|A)?P(|)??C7(0.6)i(0.4)7?i?0.7102i?47所以作出正确决策的概率为 p?P(A)P(B|A)?P()P(B|)?P(B|A)[P(A)?P()]?P(B|A)?0.7102。36、实验室器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为 pk??kk!e??,k?0,1,2,?。试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。 ?1?e????，所以产解：（1）由题意得，产生了k个细菌，且这k个细菌全部是甲类细菌的概率为k!?2?生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为k????1???2?。p??e???e?e?1???2?k?1k!????kk?k?? （2）产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与（1）中概率相同，所以欲求的条件概率为12???1?12?e???2!?2?P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}?。?11????????2??2?e?1???e???e?1???????????37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两个以上的人生于 元旦的概率是多少？2《概率论》第二章习题-15-解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用p?项分布得欲求的概率为1的二365 ?1?p?1??C???365?i502i1??1????365?50?11?(3642?50?364?25?49)36448 ??0.00037。5036538、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。 解：每个错字出现在每页上的概率为p?1，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼500近定理计算，??500?1?1，得5002i500?1P{某页上至少有三个错字}=1?1-P{某页上至多有两个错字}?1??Ci?01500?1????500?1??1????500? 1?1?(e?1?e?1?e?1)?0.0803.239、某商店中出售某种商品，据历史纪录分析，每月销售量服从普阿松分布，参数为7，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要。 解：设月初库存k件，则应有?7i?77i ?7e?0.999,即p??e?0.001.?i!i?0i?k?1i!k当k?1?17时，p?0.000958；k?1?16时，p?0.002407。所以在月初进货时要库存k?16件才行。40、螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只，才能保证每盒中有100只以上的好螺丝钉的 概率不小于80%（提示：用普阿松逼近，设应装100+k只）。解：设每盒装100+k只，为使每盒有100只以上的好钉，每盒次品数应当?k?1，则应有ip??C100)i(0.985)100?k?i?0.80.?k(0.015 i?0k?1由于k值不大，有(100?k)0.015?100?0.015?1.5利用普阿松逼近定理计算，??1.5，上式可以写成 《概率论》第二章习题-16-(1.5)i?1.5p??e?0.80.i!i?0k?1 查表得当k?1?2时，p?0.808847；当k?1?1时，p?0.557825。取k?1?2,k?3，。所以一盒应装103只，才能保证每盒中有100只以上好钉的概率小于80%。41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从??2的普阿松分布。由此可得 P{5个试管中都有细菌}?(1?e?2)5?0.4833；P{至少有三个试管中有细菌}?计算时利用了p?1?e?2的二项分布。 42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从?的普阿松分布，则P{1分钟内无车}?e??1?C(1?e15i?25?2i)(e?2)5?i?0.9800.?0.2,?i??ln0.2?1.61 由此得，2分钟内通过的汽车数服从???i?2?3.22的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为p?1?e?3.22?3.22?e?3.22?0.831.43、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为?，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。 解：若蚕产i个卵，则这i个卵变为成虫数服从概率为p,n?i的二项分布，所以P{蚕养出n只小蚕}??i!?C?i?k ?M?0??ikipk(1?p)1?k（令m?i?k)1(?p)ke??k!pke???k!??k?mm!(1?p)m? 44、若已知t?0时，某分子与另一分子碰撞，又知对任何t?0和?t?0，若不管该分子在时刻以前是否遭受碰撞，在(t,t??t)中遭到碰撞的概率等于??t?o(?t)，试求该分子在时刻?还没有再受到碰撞的概率。解：设s={该分子在时刻s还没有再受到碰撞}，则《概率论》第二章习题-17-1?P(??)??(??)?o(??)， P(????)?P(?)P(??)?P(?)(1?????o(??))，P(????)?P(?)P(?)o(??)???p(?)?，????令???0得dP(?)???P(?),d?P'(?)???，P(?) 积分得P(?)?ce???.当??0时，P(?)?1，所以c?1，从而P(?)?e???. 45、利用概率论的想法证明下面恒等式：?N?k?1N??。?2??k?2kk?0??M证：可利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了一串p?1的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N根，我们考虑：2数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r为0，1，?，N根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r根火柴“这一事件，等价于”恰有N?r次失败发生在第N+1次成功之前“ ，这个事件的概率为f(2N?r?1;N?1,)（见巴斯卡分布）。考虑到两盒火柴所处的地位相同，可得事件”发现一盒空，另一盒中尚有r根火柴“（记为Ar）的概率为12?2N?r??2N?r?1?2N?r??2N?r1??.2f?2N?r?1;N?1,??2????N??2?N??22??????r取0到N的诸事件Ar之和显然是必然事件，由此可得 ?2N?r??2N?r??1，??N??2r?0??N两边同乘以2并利用组合性质变形得N?2N?r??(N?r)N??，2?2??N?r?r?0??N 令N?r?k，并注意到对应r从0变到N，而k是从N变到0，即得要证的等式?N?k??kN??.2?2??k?r?0??N《概率论》第二章习题-18- 46、通过构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率等于6。?2证：任何一个非1的自然数，皆可唯一地（不计次序时）分解为素数的乘积，要证两数互素，只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此，把素数排列为p1?p2??，对任何t,N（自然数）定义事件 把所要求的“事AN,t?{在1,2,?,N中独立地取两整数?,?，?与?不含公因子p1,p2,?,pt}。件”的概率定义为llimlimP(AN,t)。t??N?? ??为计算P(An,t)，定义mi1?ik?P{自1,2,?,N中独立地取两整数?,?，它们有公因子pi1,pi2,?,pik}。 则由事件容许的和的概率公式得tP(AN,t)?1??mi?i?1 t?j?i?12?mij ???(?1)tm12?t（1）??，??2 显然有mi1?ik因而?1???N????N??11?1????，??m???i1?ik?pi?pi??pi?pi?Np?p??iikk?1??1k???121?i1???ik?t ?2Ctk11（2）???mi1?ik?? pi1?pikN1?i1???ik?t1?i1???ik?tpi1?pik2Ctk（2）式左端的的来由是， N?11?11212?，???2????22222?pi?pi?N?pi1?pikNpi1?pikpi1?pikNk?1而和式中一共有Ctk项。由（1），（2）得2 112tk1??2??22????CtNk?1i?1pit?j?i?1pipj112tk ?P(AN,t)?1??2??22????Ct（3）Nk?1i?1pit?j?i?1pipj在（3）中令N??得t t《概率论》第二章习题-19-N??limP(AN,t)?1??i?1ttt?1111?t??，???(?1)?1???222222??pit?j?i?1pipjp1?ptpi?i?1? 再令t??，并利用黎曼函数?(2)?为6?2（参看华罗庚著“数论导引”P236，225）得，欲求的概率?1?6?limlimP(AN,t)???1?2???(2)?2?t??N??pi??i?1???? 47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？解：假设产品合格率p?0.99，不妨设p?0.99。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为 p?1?(0.99)100?100?0.01?0.9999?1?e?1?e?1?0.2642此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）《概率论》第二章习题-20-