概率论第二章习题

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1、第二章习题1.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解基本事件是从5只球中同时取3只,有种取法.X只能取值3,4,5.X=3时,一只球编号为3,另外两只球编号为1,2,只有一种取法,X=4时,一只球编号为4,另外两只球只能从编号为1,2,3的三只球中取,有种取法.X=5时,一只球编号为5,另外两只球只能从编号为1,2,3,4的四只球中取,有种取法.X的分布律为也可列表表示X345Pk1/103/106/103.设在15只同类型

2、的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样.以X表示取出次品的只数.(1)求X的分布律;(2)画出分布律的图形.解法一:X可能取值为0,1,2.P{X=0}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2

3、A1)P(A3

4、A1A2)P{X=1}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2

5、A1)P(A3

6、A1A2)+P(A1)P(A2

7、A1)P(A3

8、A1A2)+P(A1)P(A2

9、A1)P(A3

10、A1A2)P{X=2}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)

11、+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2

12、A1)P(A3

13、A1A2)+P(A1)P(A2

14、A1)P(A3

15、A1A2)+P(A1)P(A2

16、A1)P(A3

17、A1A2)设事件Ai表示“第i次取到正品”,i=1,2,3.也可由P{X=2}=1-P{X=0}-P{X=1}法二:用等可能概型.基本事件是从15只零件中取3只,有种取法.X=0时,取出的3只都是正品,有种取法.X=1时,取出的3只中有2只正品,1只次品,有种取法.X=2时,取出的3只中有1只正品,2只次品,有种取法.故P{X=0}=22/35,P{X=1

18、}=12/35,P{X=2}=1/35.X的分布律为X012Pk22/3512/351/35其图形为X012p22/3512/351/354.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p(0

19、1Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-1)P(Ak)=(1-p)k-1pX的分布律为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.解这是(1)中p=0.45的情况,故X的分布律为P{X=k}=0.45(0.55)k-1,k=1,2,…解设Ai表示第i次试验成功的事件,则P(Ai)=p,P(Ai)=1-p.但这成功的r次试验,除最后一次必成功外,另外成功的r-1次可以是总的k-1次中的任

20、意r-1次,共有种可能,每一种可能的概率均为qk-rpr=(1-p)k-rpr.故Y的分布律为(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.)解将试验进行到出现r次成功为止,所需的试验次数Y=r,r+1,…Y=k时,共进行了k次试验,其中成功r次,未成功k-r次(kr).若后r次试验成功,则前k-r次试验未成功,其概率为P(A1A2…Ak-rAk-r+1…Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-r)P(Ak-r+1)…P(Ak)=qk-

21、rprX取偶数可视为所有{X=2n}(n=1,2,…)事件的总和,其概率为7.设事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.解设X表示n次重复独立试验中事件A发生的次数,由于事件A在一次试验中发生的概率p=0.3,故X~b(n,0.3).X的分布律为(1)n=5所求概率为P{X3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.163(2)n=7所求概率为P{X3}

22、=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}+P{X=6}+P{X=7}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=0.35314.(2)求第(1)题中的随机变量的分布函数.解由第(1)题的结果,X的分布律为X345Pk1/103/106/10F(x)=P{X≤x}x<3F(x)=03x<4F(x)=P{X=3}=1/104x<5F(x)=P{X=3}+P{X=4}=4/10=2/5x