概率论第二章习题答案

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1、第二章条件概率与统计独立性1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则，。所以题中欲求的概率为2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B

2、A）为.3、解：（1）M件产品中有m件废品，件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然，则，题中欲求的概率为.（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然，则.题中欲求的概率为.（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=4、

3、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得.5、解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，。则，;。由全概率公式得欲求的概率为.6、解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得.7、解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，Ai={

4、从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，。则.一般设，则，得.由数学归纳法得.8、解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分中一弹}，A4={其它情况}，则A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，，设B={飞机被击落}，则由全概率公式得9、解：设Ai={第i回出正面}，记，则由题意利用全概率公式得。已知

5、，依次令可得递推关系式解得当时利用等比数列求和公式得（*）（1）若，则；（2）若，则当时，；当时，。若，则若，则不存在。（3）若，则由（*）式可得10、解：令分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得，，.这里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得递推关系式为，初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得，.11、解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得由全概率公式得（其中）12、解：

6、（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。，由得,.（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数}，则A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则，且，所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为.13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知，，求。由贝叶斯公式得.14、解：设分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B为“命中目标”事件，则，，求。间互不相容，B能且只能与中之一同时发生，由贝叶斯公式得.1

7、5、解：记事件“发AAAA”为A4，事件“发BBBB”为B4，事件“发CCCC”为C4，事件“收ABCA”为D，则为求，考虑到发AAAA，而收到ABCD，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故。同理可求得，欲求的概率是，而事件间两两互不相容，又D能且只能与之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为.16、证：（1），∴与C独立。（2）∴AB与C独立。（3），∴与C独立。17、证：，同理可证,.又有，所以相互独立。18、证：必要性。事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集取的形式。当时，。设当时有

8、,则当时从而有下列2n式成立：,其中取或。充分性。设题中条件成立，则,(1).(2)∵,∴.(1)+(2)得。(3)同理有,两式相加得.（4）(3)+(4)得。同类似方法可证得独立性定义中个式子，∴相互独立。19、证：（见本章第17题），，同理可得。证毕。20、解：P{三次射击恰击中目标一次}=P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}21、解：（1）P{所有的事件全不发生}。（2）P{至少发生其一}。（3）P{恰好发生其一}。22、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记={元件发生故障}，={元件发生故障}，

9、={元件发生故障}。则P{电路断开}。23、解：以表事件“A于第k次试验中出现”，，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为。于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为。这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。24、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互