2019_2020学年高中数学课时分层作业8反证法与放缩法（含解析）新人教A版选修4_5

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1、课时分层作业(八)　反证法与放缩法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　　　B．①②④C．①②③D．②③C　[由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．]2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)A.＝B.＜C.＝且＜D.＝或＜D　[应假设≤，即＝或＜.]3．对“a，b，c是不

2、全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个C　[对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．]4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)A．M≥NB．M≤NC．M>ND

3、．M

4、a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．[答案]　a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)7．lg9·lg11与1的大小关系是________．[解析]　∵lg9＞0，lg11＞0，∴＜＝＜＝1，∴lg9·lg11＜1.[答案]　lg9·lg11＜18．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．[解析]　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋＝1.[答案]　M＜1三、解答题9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c

5、＝2a＋b＋c，求c的最大值．[解]　2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴2c＝＝1＋≤1＋＝，故c≤log2＝2－log23.10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.[证明]　k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．若记Sn＝＋＋…＋，则Sn>1＋2＋…＋n＝，Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.[能力提升练]1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b

6、，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D　[三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．]2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A．x＋y≥2(＋1)B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2D．xy≥2(＋1)A　[由已知(x＋y)＋1＝xy≤2，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正实数，∴x＞0，y＞0，∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．]3．已知

7、a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．[解析]　∵a＞2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴＜，而＝loga(a2－1)＜logaa2＝1，∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.[答案]　＜4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.[解]　(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)

8、，∴a2＝2·a1＝16，a3＝2·a2＝72.又∵＝2·，n∈N＋，∴为等比数列．∴＝·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.(2)证明：cn＝＝，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋＜＋＋＋·＝＋·＜＋·＝＋＝＝＜＝，所以结论成立．