2019_2020学年高中数学课时分层作业12数学归纳法原理（含解析）新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(十二)　数学归纳法原理(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝(　　)A．1　　　　　B．1或2C．1,2,3D．1,2,3,4[解析]　经验证当n＝1,2,3时均正确，但当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝28，故选C.[答案]　C2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．

2、现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　)A．当n＝4时该命题成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝6时该命题不成立[解析]　若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，∴n＝4时，该命题不成立．[答案]　C3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　)A.B．πC．2πD.π[解析]　n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.[答案]　B4．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n

3、＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　)A．1　　　　　　B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]　当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.[答案]　C5．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取什么值无关D．以上答案都不对[解析]　由题意n＝2时成立可推得n＝4,6,8，…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.[答

4、案]　B二、填空题6．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________．[解析]　n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．∴第一步要证明的式子是2＋f(1)＝2f(2)．[答案]　2＋f(1)＝2f(2)7．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立．(2)假设n＝k时成立，即k

5、(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数．∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．综合(1)(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．这种证明不是数学归纳法，主要原因是________．[答案]　没用上归纳假设8．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n

6、)等于________．[解析]　因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.[答案]　＋＋三、解答题9．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解]　存在，m＝36.证明如下：(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3

7、k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36，即m＝36.10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求

8、a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明．[解]　(1)∵Sn－1是方程x2－anx－an＝0的一个根，∴(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，∴(Sn－1)2－anSn＝0，∴当n＝1时，a1＝，当n＝2时，a2＝.(2)由(1)知S1＝a1＝，n≥2时，(Sn－1)2－(Sn－Sn－1)·Sn＝0，∴Sn＝.①此时当n＝2时，S2＝＝；当n＝3时，S3＝＝.由猜想可得，Sn＝，n＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论．当n＝1时，a1＝S1＝，显然成立．假