2019_2020学年高中数学课时分层作业7反证法和放缩法(含解析)新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(七) 反证法和放缩法(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用(  )①结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.A.①②    B.①②④C.①②③D.②③[解析] 由反证法的推理原理可知,反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理,同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等.[答案] C2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容是(  )A.=B.<C.=且>D.=或<[解析] 应假设≤,即=或<.[答案] D3.已

2、知p=a+,q=-a2+4a(a>2),则(  )A.p>qB.p<qC.p≥qD.p≤q[解析] ∵p=(a-2)++2,又a-2>0,∴p≥2+2=4,而q=-(a-2)2+4,由a>2,可得q<4,∴p>q.[答案] A4.设M=+++…+,则(  )A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定[解析] ∵210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,∴M=+++…+<++…+=1.210个[答案] B5.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数(  )A.至少有一个不大于2B

3、.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2[解析] ∵a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立,∴a,b,c三者中至少有一个不小于2.[答案] C二、填空题6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________.[解析] 由反证法的步骤可知,正确顺序为③①②.[答案] ③①②7

4、.给出下列两种说法:①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,

5、a

6、+

7、b

8、<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时,可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设

9、x1

10、≥1.以上两种说法正确的是________.[解析] 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①错误;对于②,其假设正确.[答案] ②8.已知a为正数,则,,从大到小的顺序为________.[解析] ∵+>+=2,+<+=2,∴2<+<2,∴>>.[答案] >>三、解答

11、题9.设n是正整数,求证:≤++…+<1.[证明] 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.当k=1时,≤<;当k=2时,≤<;…当k=n时,≤<.∴=≤++…+<=1,即原不等式成立.10.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.求证:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于.[证明] 假设a(3-b)>,b(3-c)>,c(3-a)>.∵a,b,c均为小于3的正数,∴>,>,>,从而有++>.①但是++≤++==.②显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证.[能力提升练]1.当n>2时,logn(n-1)·logn

12、(n+1)与1的大小关系是(  )A.logn(n-1)·logn(n+1)>1B.logn(n-1)·logn(n+1)<1C.logn(n-1)·logn(n+1)≤1D.不能确定[解析] logn(n-1)·logn(n+1)<=<=1.[答案] B2.x,y∈R,且x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有(  )A.最小值,而无最大值B.最小值1,而无最大值C.最小值和最大值1D.最大值1和最小值[解析] 可设x=cosθ,y=sinθ,则(1-xy)(1+xy)==1-sin22θ.∵-1≤sin2θ≤1,∴0≤sin22θ≤

13、1,∴sin2θ=0时,取得最大值为1,sin2θ=±1时,取得最小值为.[答案] D3.用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为d,距离为d的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为n条”时,假设的内容为________.[解析] 对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n+1条”.[答案] 直径的数目至少为n+1条4.用反证法证明:已知

14、a

15、<1,

16、b

17、<1,则<1.[证明] 假设≥1,则

18、a+b

19、≥

20、1+ab

21、,∴(a+b)2≥(1+ab)2

22、,∴(a2-1)(1-b2)≥0,即a2和b2一个比1大,一个比1小.从而

23、a

24、和

25、b

26、一个比1大,一个比1小,这与已知条件矛盾,故假设错误,∴原不等式成立.

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