2019_2020学年高中数学课时分层作业7反证法和放缩法（含解析）新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(七)　反证法和放缩法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　　　B．①②④C．①②③D．②③[解析]　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．[答案]　C2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)A.＝B.＜C.＝且＞D.＝或＜[解析]　应假设≤，即＝或＜.[答案]　D3．已

2、知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a＞2)，则(　　)A．p＞qB．p＜qC．p≥qD．p≤q[解析]　∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2＞0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，由a＞2，可得q＜4，∴p＞q.[答案]　A4．设M＝＋＋＋…＋，则(　　)A．M＝1B．M＜1C．M＞1D．M与1大小关系不定[解析]　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋＝1.210个[答案]　B5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B

3、．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2[解析]　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.[答案]　C二、填空题6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．[解析]　由反证法的步骤可知，正确顺序为③①②.[答案]　③①②7

4、．给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

5、a

6、＋

7、b

8、＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

9、x1

10、≥1.以上两种说法正确的是________．[解析]　反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①错误；对于②，其假设正确．[答案]　②8．已知a为正数，则，，从大到小的顺序为________．[解析]　∵＋＞＋＝2，＋＜＋＝2，∴2＜＋＜2，∴＞＞.[答案]　＞＞三、解答

11、题9．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.[证明]　由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得≤<.当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…当k＝n时，≤<.∴＝≤＋＋…＋<＝1，即原不等式成立．10．已知0＜a＜3,0＜b＜3,0＜c＜3.求证：a(3－b)，b(3－c)，c(3－a)不可能都大于.[证明]　假设a(3－b)＞，b(3－c)＞，c(3－a)＞.∵a，b，c均为小于3的正数，∴＞，＞，＞，从而有＋＋＞.①但是＋＋≤＋＋＝＝.②显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．[能力提升练]1．当n＞2时，logn(n－1)·logn

12、(n＋1)与1的大小关系是(　　)A．logn(n－1)·logn(n＋1)＞1B．logn(n－1)·logn(n＋1)＜1C．logn(n－1)·logn(n＋1)≤1D．不能确定[解析]　logn(n－1)·logn(n＋1)＜＝＜＝1.[答案]　B2．x，y∈R，且x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有(　　)A．最小值，而无最大值B．最小值1，而无最大值C．最小值和最大值1D．最大值1和最小值[解析]　可设x＝cosθ，y＝sinθ，则(1－xy)(1＋xy)＝＝1－sin22θ.∵－1≤sin2θ≤1，∴0≤sin22θ≤

13、1，∴sin2θ＝0时，取得最大值为1，sin2θ＝±1时，取得最小值为.[答案]　D3．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．[解析]　对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．[答案]　直径的数目至少为n＋1条4．用反证法证明：已知

14、a

15、＜1，

16、b

17、＜1，则＜1.[证明]　假设≥1，则

18、a＋b

19、≥

20、1＋ab

21、，∴(a＋b)2≥(1＋ab)2

22、，∴(a2－1)(1－b2)≥0，即a2和b2一个比1大，一个比1小．从而

23、a

24、和

25、b

26、一个比1大，一个比1小，这与已知条件矛盾，故假设错误，∴原不等式成立.