2019_2020学年高中数学课时分层作业7反证法（含解析）新人教B版选修1_2

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1、课时分层作业(七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角[解析]　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.[答案]　C2．下列命题错误的是(　　)A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数[解析]　a＋b为奇数⇔a，b中

2、有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．[答案]　D3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案]　D4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．

3、都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2[解析]　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②显然①②矛盾，所以C正确．[答案]　C5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为(　　)A．①②③　　　　　B．①③②C．②③①D．③①②[解析]　根据反

4、证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．[答案]　D二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．[解析]　“至少有一个”的否定是“没有一个”．[答案]　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．[解析]　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“＝或<”．[答案]　＝或<8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；

5、③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[解析]　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.[答案]　③三、解答题9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.

6、[证明]　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[证明]　假设，，成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以，，不成等差数列．[能力提升练]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证

7、明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

8、a

9、＋

10、b

11、<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

12、x1

13、≥1.下列说法中正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确[解析]　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．[答案]　D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sinA≠sinB”．若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)A．

14、与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾[解析]　证明过程如下：假设sinA＝sinB，因为0