2019_2020学年高中数学2.2.2反证法课时作业（含解析）新人教A版选修

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1、课时作业7　反证法知识点一反证法的概念1.反证法是(　　)A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法答案　A解析　由反证法的定义可知A正确，故选A.2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案　C解析　根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中应把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用.知识点二反证法的步骤3.有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x<

2、y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个答案　B解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2，求证p＋q≤2”时的反设为__________，得出的矛盾为__________．答案　p＋q>2　(q－1)2<0解析　假设p＋q>2，则p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<

3、0，∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2.知识点三用反证法证明命题5.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．证明　假设，，成等差数列，则＋＝2，两边同时平方，得a＋c＋2＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以，，不成等差数列.易错点反设错误或不全面致错6.已知x，y∈R且x2＋y2＝0，求证：x，y全为零．易错分析　本题中易出现反设错误而致错，x，y全为零的否定应为x，y不全为零，即至少有一个不是零．证明　假设x，y不全为零，则有以下三种可能：(1)x＝0，y≠0，

4、则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾；(2)x≠0，y＝0，则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾；(3)x≠0，y≠0，则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾．故假设不成立，则x，y全为零．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解答案　C解析　在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)(　　)A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少

5、有两解答案　D解析　“唯一”的否定上“至少两解或无解”．3．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　必要性显然成立．充分性：若P·Q·R>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P<0，Q<0，R>0.∵P<0，Q<0，即a＋b

6、弦值，则(　　)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案　D解析　因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.

7、又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题5．命题“a，b∈R，若

8、a－1

9、＋

10、b－1

11、＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．答案　a≠1或b≠1解析　“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.6．用反证法证