2019_2020学年高中数学2.2.2反证法课时作业（含解析）新人教A版

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1、课时作业19　反证法知识点一反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案　C解析　原结论不能作为条件使用．2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x

2、应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.知识点二反证法的步骤3.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除答案　B解析　“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝

3、∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．答案　③①②解析　反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.知识点三用反证法证明命题5.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋

4、π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)

5、证明结论为“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的命题时，应假设(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案　D解析　假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

6、a

7、＋

8、b

9、＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

10、x1

11、≥1.下列说法中正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确

12、C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案　D解析　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2答案　C解析　假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，但＋＋＝＋＋≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．4．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)A．充分不必

13、要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR＞0成立．其次，若PQR＞0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，即a＋b－c＜0，b＋c－a＜0，所以b＜0，与b＞0矛盾．故P，Q，R都大于0.5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐

14、角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案　D解析　因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以