2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十五）反证法（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（十五）反证法一、题组对点训练对点练一　用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是(　　)①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：选C　根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错

2、误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设公差为d，由已知得解得d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不

3、相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.又p，q，r∈N*，所以所以2＝pr.(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．对点练二　用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B　“至

4、少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.答案：6．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由．解：是．假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)

5、2＋(z－1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0.这与假设a＋b＋c≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0.对点练三　用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)(　　)A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解解析：选D　“唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)A．a

6、，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”

7、相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．二、综合过关训练1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除解析：选B　用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

8、a

9、＋

10、b

11、<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对

12、值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

13、x1

14、≥1.下列说法中正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：选D　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)A