2019_2020学年高中数学课时分层作业8柯西不等式（含解析）新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(八)　柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)A．1　　　　　　　B．2C．D．4[解析]　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.[答案]　C2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　)A．3B．1C．D．[解析]　∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b

2、2＋c2≥3.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴的最小值为.[答案]　D3．已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A.B.C.D.[解析]　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝，当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，∴2x2＋3y2的最小值为.[答案]　B4．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为(　　)A．1B．－1C．2D．－2[解析]　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，≥(a1b1＋a2b2＋…＋anb

3、n)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.[答案]　C5．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为(　　)A．(0,1)B．(－1,1)C．(0，－1)D．[－1,1][解析]　设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．∵

4、α

5、＝＝1，

6、β

7、＝＝1，由

8、α

9、

10、β

11、≥

12、α·β

13、，得

14、t

15、≤1.∴t的取值范围是[－1,1]．[答案]　D二、填空题6．已知a，b，c∈R，a＋2b

16、＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．[解析]　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．[答案]　127．若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．[解析]　由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当

17、向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－4≤x－2z≤4，即－4≤a·b≤4.故a·b的最大值为4.[答案]　48．已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.[解析]　由柯西不等式得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当＝时，上式取等号，∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.[答案]　1三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤＋.[证明]　设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

18、a＋b

19、＝＝

20、m·n

21、≤

22、m

23、

24、

25、n

26、＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．[解]　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．由柯西不等式得l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R.当且仅当＝，即x＝R时等号成立．此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.[能力提升练]1．函数y＝＋的最小值是(　　)A．B．2C．11＋2D．＋1[解析]　y＝＋.根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋

27、5＋2≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2＝11＋2，当且仅当＝，即x＝时等号成立．此时，ymin＝＝＋1.[答案]　D2．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.[解析]　由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，当且仅当＝＝＝k时取“＝”．由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解

28、得k＝，所以＝k＝.[答案]