2019_2020学年高中数学课时分层作业10一般形式的柯西不等式（含解析）新人教A版选修4_5

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1、课时分层作业(十)　一般形式的柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)A．1　　　　　B.C．3D．9B　[由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.故选B.]2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为(　　)A．4B．3C．6D．2D　[∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝18.∴＋＋≥2.]3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的

2、大小关系为(　　)A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．不确定B　[由柯西不等式知(a＋a＋…＋a)·≥a1＋a2＋…＋an，∴·≥a1＋a2＋…＋an，即得≥，∴P≥Q.]4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为(　　)A．1B．6C．11D.D　[∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．]5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)A．24B．30C．36D．48C　[(x＋y＋z)≥＝36，∴＋＋≥36.]二、填空题6．

3、已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．[解析]　由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.[答案]　7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．[解析]　∵a＋2b＋3c

4、＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．[答案]　128．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．[解析]　[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，∴－2≤3x－y－2z－5≤2，即5－2≤3x－y－2z≤

5、5＋2.若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，∴t＝－，∴x＝－＋1.[答案]　[5－2，5＋2]　－＋1三、解答题9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证：＋＋≥；(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．[解]　(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，即3≥1，∴＋＋≥.(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，因为x＋y＋z＝1，所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，故4x＋4y＋4z2≥3＝3，当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.10．已

6、知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.[证明]　由于f(x)＝ax2＋bx＋c，且a，b，c大于0，∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)≥(x1·x2＋·＋c)2＝(ax1x2＋b＋c)2＝[f()]2＝[f(1)]2.又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，∴f(x1)·f(x2)≥1.[能力提升练]1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)A．1B．3C．8D．12B　[∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，∴a＋＝≥·3＝3.

7、当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.]2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)A.B.C.D.C　[由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.]3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．[解析]　由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋