2019_2020学年高中数学课时分层作业10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)A．P≤Q　　　B．P＜QC．P≥QD．P＞Q[解析]　设m＝(x，y)，n＝(，)，则

2、ax＋by

3、＝

4、m·n

5、≤

6、m

7、

8、n

9、＝·＝·＝，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.[答案]　A2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A．B．C．D．[解析]　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.[答案]　B3．已知x，y，z均大于

10、0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)A．24B．30C．36D．48[解析]　(x＋y＋z)≥＝36，∴＋＋≥36.[答案]　C4．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)A．(＋)2B．C．D．(m＋n)2[解析]　根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)·≥＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立，这时u取最小值为(＋)2.[答案]　A5．函数y＝＋2的最大值是(　　)A．B．C．3D．5[解析]　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.[答案]　B二、填空题6．函数y＝＋的最大值为_________

11、_．[解析]　由，非负且()2＋()2＝3，所以＋≤＝＝.[答案]　7．设x，y为正数，且x＋2y＝8，则＋的最小值为__________．[解析]　(x＋2y)＝[()2＋()2]≥＝25，又x＋2y＝8，∴＋≥.[答案]　8．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.[解析]　由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.当且仅当＝＝＝k时取“＝”，由k2(x2＋y2＋z2)2＝2

12、5×36，解得k＝，所以＝k＝.[答案]　三、解答题9．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．[解]　由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.10．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤＋.[证明]　设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

13、a＋b

14、＝＝

15、m·n

16、≤

17、m

18、

19、n

20、＝·＝，∴(a

21、＋b)2≤＋.[能力提升练]1．已知x，y为正数，且xy＝1，则的最小值为(　　)A．4B．2C．1D．[解析]　＝·≥＝＝22＝4.[答案]　A2．设a1，a2，…，an为正数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为(　　)A．P>QB．P≥QC．P

22、ax＝5.[答案]　[5,6]　54．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.[证明]　由三角形中的正弦定理得：sinA＝，所以＝，同理＝，＝，于是由柯西不等式可得左边＝(a2＋b2＋c2)≥＝36R2，所以原不等式得证．