二一般形式的柯西不等式.ppt

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式情感目标：1.领悟柯西不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学修养，培养创新意识.2.理解排序原理的实质，逐步培养学生应用算法的能力，不断提高数学修养.〔内容简述〕本讲内容分为三部分，第一部分介绍了平面上柯西不等式的几种形式：代数形式，向量形式和平面三角不等式；第二部分给出了柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明，柯西不等式一般形式中等号成立的条件是需要掌握的，它是讨论一些特定函数的极值问题的基础；第三部分讨论了排序原理，给出了它的实际背景，物理背景和在证明不等式中的一些简单应用.〔学法探究〕1.学习柯

2、西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.2.参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想.3.学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.一　二维形式的柯西不等式1自主预习学案2互动探究学案3课时作业练案自主预习学案在平面直角坐标系中，设点P1、P2的坐标分别是(x1、y1)、(x2、y2)，根据△OP1P2的边长关系，你能发现

3、x1、y1、x2、y2这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？(ac＋bd)2ad＝bc

4、ac＋bd

5、

6、ac

7、＋

8、bd

9、

10、α

11、

12、β

13、零向量特别关注：1.柯西不等式三种形式的关系根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.2.理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号.(2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号.(3)三角形式中当P1(x1、y1)、P2(x2、y2)、O(0、0)三点共线且P1、P2在原点O两旁时取等号.互动探究学案命题方向1⇨利用二维形式柯西不等式

14、证明不等式[分析]利用柯西不等式的代数形式证明.[解析]由柯西不等式得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，∴

15、ax＋by

16、≤1.[方法技巧]利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法，才能找到突破口.命题方向2⇨利用二维形式的柯西不等式求最值[分析]设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的

17、形式就能用柯西不等式求其最大值.[方法技巧]利用二维形式的柯西不等式求最值的技巧(1)求某些解析式的最小值时，要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式.(2)求某个解析式的最大值时，要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式，在构造过程中系数的选择是关键.[解析]利用柯西不等式得，(3a＋b)2＝(a·3＋b·1)2≤(a2＋b2)(32＋12)＝10×10＝100，即(3a＋b)2≤100，所以

18、3a＋b

19、≤10，－10≤3a＋b≤10，当且仅当a＝3b时，等号成立.又a2＋b2＝10，所以a2＝9，b2＝1.所以当a＝－3，b＝－1时，3a＋b有最小值

20、为－10；当a＝3，b＝1时，3a＋b有最大值为10.命题方向3⇨二维形式柯西不等式向量形式的应用[方法技巧]应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量，通常我们要使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式一侧的形式，再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.4[辨析]错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误，以及忽视了等号成立的条件.课时作业练案