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1、二一般形式的柯西不等式名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R则≥_______________当且仅当b1=b2=b3=0或存在一个实数k使得_____________(a1b1+a2b2+a3b3)2ai=kbi(i=1,2,3)名称形式等号成立条件一般形式柯西不等式设是实数，则≥________________当且仅当bi=0(i=1,2,…，n)或存在一个实数k,使得_____________ai=kbi(i=1,2,…,n)(a1b1+a2b2+…+anbn)21.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗？提示：不可以.因为若
2、出现bi=0(i=1,2,3)的情况，则分式不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为_______.【解析】根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1，所以答案：3.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z的最大值是____.【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,所以答案：1.对柯西不等式一般形式的理解一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二
3、维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2.柯西不等式的两个变式(1)设ai∈R,bi＞0(i=1,2,…,n),当且仅当bi=λai时(1≤i≤n)等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则当且仅当bi=λai时，等号成立.类型一三维柯西不等式的应用【典型例题】1.(2013·湖南高考)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_______.2.△ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R，求证：【解题探究】1.题1中的条件a+2b+3c与待求a2+
4、4b2+9c2有何关系？2.题2中，待证的式子的左边应该如何转化才能利用柯西不等式证明？探究提示：1.题1中条件a+2b+3c与a2+4b2+9c2的关系是前者各项平方和为后者，根据三维形式的柯西不等式的特点可以构造三维形式的柯西不等式进行求解.2.分析待证式子的左右两端可以发现右端不含有正弦，而含有外接圆的半径，所以需要借助正弦定理进行转化，然后利用柯西不等式证明.【解析】1.因为(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2=36，当且仅当a=1,2b=1,3c=1即时取“=”，所以a2+4b2+9c2≥12.答案：122.由三角形中的正弦定理得：所以同理
5、于是左边【互动探究】题1中，把题目改为“a,b,c∈R,a2+4b2+9c2=27,求a+2b+3c的最大值”.【解析】(a+2b+3c)2≤(12+12+12)(a2+4b2+9c2)=3×27=81,当且仅当a=2b=3c,即(负值舍去)时取等号，所以a+2b+3c≤9.【拓展提升】应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.【变式训练】设P是
6、△ABC内的一点，x,y,z是P到三边的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明：【证明】由柯西不等式得，记S为△ABC的面积，则故不等式成立.类型二柯西不等式的一般形式的应用【典型例题】1.(2013·重庆高二检测)已知则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为_____.2.已知a1,a2,…,an都是正实数，且a1+a2+…+an=1,求证：【解题探究】1.题1中已知的两个条件与a1x1＋a2x2＋…＋anxn有什么关系？2.题2中应该如何入手证明不等式成立？探究提示：1.题1中已知的两个条件和a1x1＋a2x2＋…＋anxn恰好是柯西不等式的一般形式中不等号的两端.2.分析
7、待证的不等式两端，可见左端的形式是一个无限的形式，而右端是常数，所以需要从左端的结构特点进行入手，分析其形式对比柯西不等式的一般形式，进行合理变形，结合已知条件中a1+a2+…+an=1利用柯西不等式转化证明.【解析】1.根据柯西不等式的一般形式可知：所以(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤1.当且仅当ai=kbi时取“=”.即a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.答案：12.左边右边,所以原不等式成立.【拓展提升】应用柯西不等式的注意事项(1)对于利用柯西不等式证明不等式或
