高中数学 课时跟踪检测（十）一般形式的柯西不等式 新人教a版选修

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1、系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。课时跟踪检测(十)一般形式的柯西不等式1．设a＝(－2,1,2)，

2、b

3、＝6，则a·b的最小值为(　　)A．18　　　　　　　　　　B．6C．－18D．12解析：选C　

4、a·b

5、≤

6、a

7、

8、b

9、，∴

10、a·b

11、≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a，b最小，最小值－18.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1

12、B．2C．3D．4解析：选A　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.3．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－25解析：选B　(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立，∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.4．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，则x2＋y2＋z2的最小值为(　

13、　)A.B.C.D.解析：选A　由柯西不等式，得[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，即16≤14(x2＋y2＋z2)，所以x2＋y2＋z2≥.当且仅当x＝＝＝时，等号成立，即x2＋y2＋z2的最小值为.5．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.通过党课、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉用习近平新时代中国特色社会主义思

14、想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。解析：由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥＝.当且仅当＝＝z时，等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝，y＝，z＝，所求点为.答案：6．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x2＋4y2＋z2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x

15、＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，故x2＋4y2＋z2的最小值为.答案：7．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．解析：由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当＝＝，即2a＝2b＋1＝2c＋3时，等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，＋＋取得最大值4.答案：48．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R

16、，求证：(a2＋b2＋c2)＋＋≥36R2.证明：∵＝＝＝2R，通过党课、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。∴(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2.9．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2取到最小值．解：由柯西不

17、等式，得(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥.当且仅当＝＝，即x＝，y＝时，等号成立，此时有最小值.10．已知不等式

18、a－2

19、≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．解：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]≥(x＋y＋z)2.又因为x＋y＋z＝1，所以x2＋2y2＋3z2≥.当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号，则

20、a－2

21、≤，所以实数a的取

22、值范围为.