高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式学案新人教选修

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1、二　一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥________________，当且仅当____________或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)A．1B.C.D．3【做一做1－2】若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．3B．3C．18D．92．一般形式的柯西不等式

2、设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥______________，当且仅当______________或存在一个数k，使得ai＝______(i＝1,2，…，n)时，等号成立．尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为(　　)A．1B．－1C．2D．－2答案：1．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2　bi＝0(i＝1,2,3)【做一做1－1】　B　由

3、柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．【做一做1－2】　B　由柯西不等式得：(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3[3(a＋b＋c)＋3]，又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．2．(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2　bi＝0(i＝1,2，…，n)　kbi【做一做2】　C1．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式

4、进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．2．正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应

5、对“1”视而不见．题型一三维形式的柯西不等式【例1】已知a，b，c∈R＋，求证：(＋＋)(＋＋)≥9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．反思：由a，b，c构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出．题型二多维形式的柯西不等式【例2】已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1.求证：＋＋…＋＋≥.分析：已知条件中a1＋a2＋…＋an＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为，，…等数的平方和，所以a1＋a2

6、＋…＋an＝1，应扩大2倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明．反思：通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型三柯西不等式的综合应用【例3】设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．分析：由题目可获取以下主要信息：①已知f(x)的函数表达式．②变量的取值范围．③证明相关的不等式．解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．反思：对于较为复

7、杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征．题型四易错辨析【例4】已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝9，ax＋by＋cz≤t，求t的最小值．错解：求t的最小值，即求u＝ax＋by＋cz的最大值．ax≤，by≤，cz≤，三式相加得：ax＋by＋cz≤＋＋＝5，故u＝ax＋by＋cz的最大值为5，从而t的最小值为5.错因分析：基本不等式得到u＝ax＋by＋cz≤5是正确的，但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u的最大值一定是5.事实上，如果u的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“＝