高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式学案新人教选修

高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式学案新人教选修

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1、二 一般形式的柯西不等式1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a+a+a)(b+b+b)≥________________,当且仅当____________或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.【做一做1-1】已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是(  )A.1B.C.D.3【做一做1-2】若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则++的最大值为(  )A.3B.3C.18D.92.一般形式的柯西不等式

2、设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥______________,当且仅当______________或存在一个数k,使得ai=______(i=1,2,…,n)时,等号成立.尽可能地构造符合柯西不等式的形式.常用技巧有:①巧拆常数;②重新安排某些项的次序;③改变结构;④添项.【做一做2】若a+a+…+a=1,b+b+…+b=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(  )A.1B.-1C.2D.-2答案:1.(a1b1+a2b2+a3b3)2 bi=0(i=1,2,3)【做一做1-1】 B 由

3、柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=1.∴x2+y2+z2≥,当且仅当x=y=z=时,等号成立.【做一做1-2】 B 由柯西不等式得:(++)2≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=3[3(a+b+c)+3],又∵a+b+c=1,∴(++)2≤3×6=18,∴++≤3,当且仅当a=b=c=时等号成立.2.(a1b1+a2b2+…+anbn)2 bi=0(i=1,2,…,n) kbi【做一做2】 C1.一般形式的柯西不等式的应用剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式

4、进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.2.正确利用“1”剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式,教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性,因此,不应

5、对“1”视而不见.题型一三维形式的柯西不等式【例1】已知a,b,c∈R+,求证:(++)(++)≥9.分析:对应三维形式的柯西不等式,a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=,而a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.反思:由a,b,c构成新的数字,而形成三维形式的柯西不等式,需要有较高的观察能力,从所给的数学式的结构中看出.题型二多维形式的柯西不等式【例2】已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.求证:++…++≥.分析:已知条件中a1+a2+…+an=1,可以看作“1”的代换,而要证的不等式的左边为,,…等数的平方和,所以a1+a2

6、+…+an=1,应扩大2倍后再利用.本题还可以利用其他的方法证明.反思:通过本题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式或其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.题型三柯西不等式的综合应用【例3】设f(x)=lg,若0≤a≤1,n∈N+且n≥2,求证:f(2x)≥2f(x).分析:由题目可获取以下主要信息:①已知f(x)的函数表达式.②变量的取值范围.③证明相关的不等式.解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化,再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.反思:对于较为复

7、杂的证明问题,可采用“分析法”进行推导,从而找到柯西不等式的结构特征.题型四易错辨析【例4】已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值.错解:求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.ax≤,by≤,cz≤,三式相加得:ax+by+cz≤++=5,故u=ax+by+cz的最大值为5,从而t的最小值为5.错因分析:基本不等式得到u=ax+by+cz≤5是正确的,但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能,并不能得出u的最大值一定是5.事实上,如果u的最大值为5,错解中的三个不等式应同时取“=

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