高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案新人教a版

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1、二　一般形式的柯西不等式学习目标　1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一　三维形式的柯西不等式思考1　类比平面向量，在空间向量中，如何用

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、，推导三维形式的柯西不等式？答案　设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则

8、α

9、＝，

10、β

11、＝.∵

12、α

13、

14、β

15、≥

16、α·β

17、，∴·≥

18、a1b1＋a2b2＋a3b3

19、，∴(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2　三维形式的柯西不等式

20、中，等号成立的条件是什么？答案　当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理　三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二　一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2

21、．柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立.类型一　利用柯西不等式证明不等式例1　设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋＞.证明　构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋＞.反思与感悟　有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西

22、不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1　已知a，b，c∈R＋，求证·≥9.证明　由柯西不等式知，左边＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9，∴原不等式成立．例2　设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.证明　由柯西不等式，得(a2＋a3＋…＋a1)≥2＝(a1＋a2＋…＋an)2，故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.反思与感悟　一般形

23、式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2　已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…＋＋≥.证明　∵×2＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋a1)]≥2＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，∴＋＋…＋≥.类型二　利用柯西不等式求函数的最值例3　(1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________．(2)已知0＜x＜1,0＜y＜1，则函数f(x)＝＋的最小值是________．答案　(1)　(2)解析　

24、(1)∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，当且仅当＝＝时取等号，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.(2)＋≥＝，故f(x)的最小值为.反思与感悟　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝

25、x＋a

26、＋

27、x－b

28、＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)因为f(x)＝

29、x＋a

30、＋

31、x－b

32、＋c≥

33、(x＋a)－(x－b

34、)

35、＋c＝

36、a＋b

37、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以

38、a＋b

39、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值为.1．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　)A．2B．2C．4D．5答案　C解析　∵(＋2＋)2＝(1·＋2·＋·)2≤[12＋22＋()2][()2＋()2＋()2

40、]＝8(x＋y＋z)＝16(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)，∴＋2＋≤4.2．若