2018_2019学年高中数学课时跟踪检测（十）一般形式的柯西不等式（含解析）新人教a版

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1、课时跟踪检测（十）一般形式的柯西不等式1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－25解析：选B　(ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选A　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝

2、1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)A．5B．6C．8D．9解析：选D　x＋＋＝·≥2＝9，当且仅当＝＝＝时等号成立．4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)A.B.C.D.解析：选C　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.5．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小

3、值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥.当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝，y＝，z＝，故所求点为.答案：6．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．解析：(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x，y，z满足3x＋2y＋z＝1，则x2＋2y2＋3z2的最小值为________．解析：

4、由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]·≥(3x＋2y＋z)2＝1，所以x2＋2y2＋3z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，所以x2＋2y2＋3z2的最小值为.答案：8．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.证明：∵＝＝＝2R，∴(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2.9．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得最小值．解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x

5、＋3y＋1)2＝9.∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥.当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)即5x－4y＋7＝0时取等号．解方程组得故所求点的坐标为.10．已知函数f(x)＝m－

6、x－2

7、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)因为f(x＋2)＝m－

8、x

9、，所以f(x＋2)≥0等价于

10、x

11、≤m.由

12、x

13、≤m有解，得m≥0，且其解集为{x

14、－m≤x≤m}，又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，所以

15、a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9.