2018_2019学年高中数学课时跟踪检测（九）二维形式的柯西不等式（含解析）新人教a版

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1、课时跟踪检测（九）二维形式的柯西不等式1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是(　　)A．P≤Q　　　　　　　B．P＜QC．P≥QD．P＞Q解析：选A　设m＝(x，y)，n＝(，)，则

2、ax＋by

3、＝

4、m·n

5、≤

6、m

7、

8、n

9、＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．(－，)解析：选A　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.3．已知x＋y＝1，那么

10、2x2＋3y2的最小值是(　　)A.B.C.D.解析：选B　(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，当且仅当x＝，y＝时取等号，即2x2＋3y2≥.故2x2＋3y2的最小值为.4．函数y＝＋2的最大值是(　　)A.B.C．3D．5解析：选B　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，当且仅当x＝时取等号．5．设xy>0，则的最小值为________．解析：原式＝≥x·＋·y2＝9，当且仅当xy＝时取等号．答案：96．设a＝(－2,1,2)，

11、b

12、＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有

13、a·b

14、≤

15、a

16、

17、·

18、b

19、，∴

20、a·b

21、≤×6＝18，当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18，∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18　(4，－2，－4)7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．解析：由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，当且仅当x＝，y＝时取等号，故P＝2x＋y的最大值为.答案：8．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求证：＋≥2.证明：＋＝(x＋y)＝[()2＋()2]≥2＝2，当且仅当时等号成立，此时x＝1，y＝1.所以＋≥2.9．若x2

22、＋4y2＝5，求x＋y的最大值及此时x，y的值．解：由柯西不等式得[x2＋(2y)2]≥(x＋y)2，即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.当且仅当＝，即x＝4y时取等号．由得或(舍去)．∴x＋y的最大值为，此时x＝2，y＝.10．求函数f(x)＝3cosx＋4的最大值，并求出相应的x的值．解：设m＝(3,4)，n＝(cosx，)，则f(x)＝3cosx＋4＝

23、m·n

24、≤

25、m

26、·

27、n

28、＝·＝5，当且仅当m∥n时，上式取“＝”．此时，3－4cosx＝0.解得sinx＝，cosx＝.故当sinx＝，cosx＝时．f(x)＝3cosx＋4取最大值5.