2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义（含解析）新人教a版

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1、一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式22222(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：2(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)(a，b，c，d为非负实数)；2222a＋b·c＋d≥

2、ac＋bd

3、(a，b，c，d∈R)；2222a＋b·c＋d≥

4、ac

5、＋

6、bd

7、(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则

8、α·β

9、≤

10、α

11、·

12、β

13、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式

14、的向量形式中α·β≤

15、α

16、

17、β

18、，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式222222(1)定理3：x1＋y1＋x2＋y2≥(x1－x2)＋(y1－y2)(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有2222(x1－x3)＋(y1－y3)＋(x2－x3)＋(y2－y3)22≥(x1－x2)＋(y1－y2).事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2

19、)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有

20、P1P3

21、＋

22、P2P3

23、≥

24、P1P2

25、，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式22ab2[例1]已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b).22cosθsinθ22[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sinθ＋cosθ”，然后用柯西不等式证明．22ab[证明]∵＋22cosθsinθ22ab＋2222＝cosθsinθ(cosθ＋sinθ)ab·cosθ＋·sinθ2≥cosθsinθ2＝(a＋b)，22

26、2ab∴(a＋b)≤＋.22cosθsinθ利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．a1a2＋2求证：(a1b1＋a2b2)b1b2≥(a1＋a2).a1a2＋证明：∵(a1b1＋a2b2)b1b2a1a22222＝[(a1b1)＋(a2b2)]b1＋b2a1a2a1b1·＋a2b2·22≥b1b2＝(a1＋a2).∴原不等式成立．2．设a，b，c为正数，

27、222222求证：a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(a＋b＋c)．证明：由柯西不等式，2222得a＋b·1＋1≥a＋b，22即2·a＋b≥a＋b.22同理：2·b＋c≥b＋c，222·a＋c≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：222222)2(a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(a＋b＋c)222222∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(a＋b＋c)．22ab3．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2.2－a2－b证明：根据柯西不等式，有22ab＋[(2－a)＋(2－b)]2－a2－bab2222＝[(2－a)＋(2－b)]2－a＋2－bab2－a·＋2－b·2≥

28、2－a2－b2＝(a＋b)＝4.22ab4∴＋≥＝2.2－a2－b(2－a)＋(2－b)∴原不等式成立.利用二维形式的柯西不等式求最值[例2]求函数y＝3sinα＋4cosα的最大值．[思路点拨]函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解]由柯西不等式得22222(3sinα＋4cosα)≤(3＋4)(sinα＋cosα)＝25，∴3sinα＋4cosα≤5.sinαcosα34当且仅当＝>0即sinα＝，cosα＝时取等号，即函数的最大值为5.3455利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构

29、特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．224．已知2x＋y＝1，求2x＋y的最大值．222222解：∵2x＋y＝2×2x＋1×y≤(2)＋1×(2x)＋y＝3×2x＋y＝3，3当且仅当x＝y＝时取等号．3∴2x＋y的最

30、大值为3.225．求函数y＝x－2x＋3＋x－6x＋14的最小值．22解：y＝(x－1)＋2＋(3－x)＋5