2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式练习（含解析）新人教A版

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1、一　二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(　　)A.ab≤12B.ab≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析：∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥2.故选C.答案：C2已知4x+9y=2,x,y>0,则x+y的最小值是(　　)A.252B.254C.52D.5解析：由4x+9y=2,得x+y=[(x)2+(y)2]2x2+3y22≥12x·2x+y·3y2=12(2+3)2=252,当且仅当x·3y=y·2x,即x=5,y=152时,等号成立.答案：A

2、3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是(　　)A.56B.65C.2536D.3625解析：2x2+3y2=[(2x)2+(3y)2][(3)2+(2)2]×15≥15(6x+6y)2=65(x+y)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,y=25时,等号成立.答案：B4函数y=22-x+2x-3的最大值是(　　)A.3B.32C.3D.4解析：y2=2×2-x+2×x-322≤[22+(2)2](2-x)2+x-322=6×12=3,当且仅当2x-32=2·2-x,即x=53时,等号成立.故y的最大值为3.

3、答案：C5已知x>0,y>0,且xy=1,则1+1x1+1y的最小值为(　　)A.4B.2C.1D.14解析：1+1x1+1y=12+1x212+1y2≥1×1+1x×1y2=1+1xy2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案：A6设x,y∈R+,则(x+y)·3x+2y的最小值是　　　　　　　　　　. 答案：5+267已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a+1b的最小值是　　　　　　　　　　. 解析：因为a,b∈R+,且a+b=1,所以12a+1b=12a+1b(a+b),由柯西不等式得12a+1b(a

4、+b)≥12a·a+1b·b2=22+12=32+2,当且仅当b2a=ab,a+b=1时,等号成立,此时a=2-1,b=2-2.答案：32+28函数y=3sinx+22(1+cos2x)的最大值是　　　　　. 解析：y=3sinx+22(1+cos2x)=3sinx+4cos2x≤(32+42)(sin2x+cos2x)=5,当且仅当3

5、cosx

6、=4sinx时,等号成立.答案：59已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:

7、ax+by

8、≤1.证明：由柯西不等式,得

9、ax+by

10、≤a2+b2·x2+y2=1,当且仅当

11、ay=bx时,等号成立.10已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c≥4a-c.分析：原不等式可变形为(a-c)1a-b+1b-c≥4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式证明即可.证明：(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]1a-b+1b-c=[(a-b)2+(b-c)2]1a-b2+1b-c2≥a-b1a-b+b-c1b-c2=4,当且仅当a-b·1b-c=b-c·1a-b,即a-b=b-c时,等号成立.故原不等式成立.能力提升1已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是(　　)A.

12、2B.2C.3D.3解析：2x+y=2×2x+1×y≤(2)2+12×(2x)2+y2=3×2x2+y2=3,当且仅当2y=2x,即x=y=33时,等号成立.故2x+y的最大值是3.答案：C2若x2+y2=8,则2x+y的最大值为(　　)A.8B.4C.210D.5解析：∵(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=210.答案：C3若a+b=1,则a+1a2+b+1b2的最小值为(　　)A.1B.2C.252D.72解析：a+1a2

13、+b+1b2=a2+2+1a2+b2+2+1b2.∵a+b=1,∴a2+b2=12(a2+b2)·(1+1)≥12(a+b)2=12.又1a2+1b2≥2ab≥8(a+b)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,∴a+1a2+b+1b2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.答案：C4已知正数a,b满足a+b=2,则a+b+1的最大值为(　　)A.3B.2+1C.6D.3+1解析：正数a,b满足a+b=2,则a+b+1=3,则(1·a+1·b+1)2≤(12+12)[(a)2

14、+(b+1)2]=6.故a+b+1≤6,故选C.答案：C5设xy>0,则x2+4y2y2+1x2的最小值为　　　　. 解析：原式=x2+2y21x2+y2≥x·1x+2y·y2=9,当且仅当xy=2时,等号成立.故所求最小值为9.答案：96设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为　　　　. 解析：由柯西不等式得(2x+y)2≤[