高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式课件新人教A版.pptx

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1、一　二维形式的柯西不等式第三讲　柯西不等式与排序不等式学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　二维形式的柯西不等式思考1(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

2、.思考2当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案　当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理(1)二维形式的柯西不等式①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立.②二维形式的柯西不等式的推论：(ac＋bd)2

3、

4、ac＋bd

5、

6、ac

7、＋

8、bd

9、(2)柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则，当且仅当β是，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.

10、α·β

11、≤

12、α

13、·

14、β

15、②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有

16、P1P3

17、＋

18、P

19、2P3

20、≥

21、P1P2

22、，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一　利用柯西不等式证明不等式证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，证明反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.跟踪训练1已知θ为锐角，a，b∈R＋，证明例2若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：

23、x

24、＋2y＋z

25、≤3.证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即

26、x＋2y＋z

27、≤3.证明反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.将上面三个同向不等式相加，证明类型二　利用柯西不等式求最值例3若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点

28、.解　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟　利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技

29、巧之一.跟踪训练3已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴

30、3a＋2b

31、≤6.解答达标检测1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为A.4B.2C.8D.91234解析(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，所以(3a＋2b)2≤4×13.所以3a＋2b的最大值为解析答案5√2.已知a≥0，b≥0，且a＋

32、b＝2，则A.ab≤B.ab≥C.a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3答案√12345解析　∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.解析123459∴最小值为9.解析答案12345解析　∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，∴m2＋n2≥5.当且仅当an＝bm时取等号.解析答案证明　∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2，∴

33、acosθ＋bsinθ

34、≤1.12345证明5.已知a2＋b2＝