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《高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 一般形式的柯西不等式【自主预习】1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥_______________,当且仅当_____________或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥__________________,当且仅当________________或存在一个数k
2、,使得ai=___(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2bi=0(i=1,2,…,n)kbi【即时小测】1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为()A.4B.6C.9D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6≤a1b1+a2b2+a3b3≤6.2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为()A.6B.C.8D.【解析】选B.由x2+4
3、y2+z2=6,利用柯西不等式可得(x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有x+2y+3z≤,当且仅当时,取等号.再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_________.【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,所以a2+4b2+9c2≥12.答案:12【知识探究】探究点一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗?提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分式不成立了,但是,可以利用分式的形
4、式来形象地记忆.2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.【归纳总结】1.对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.等号成立的条件ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即:==…=或b1=b2=…=bn=0.3.柯西不等式的两个变式(1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n),,当且
5、仅当bi=λai时等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则≥,当且仅当bi=λai时,等号成立.类型一利用柯西不等式证明不等式【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用柯西不等式?提示:9=(1+1+1)2.【证明】左边=[2(a+b+c)]·=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,所以,原不等式成立.【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重
6、新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【变式训练】1.已知a,b,c∈R+,求证:【证明】由柯西不等式知所以原不等式成立.2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:【证明】左边==[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)≥(ab+bc+cd+da
7、)2,所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.类型二利用柯西不等式求最值【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.求的最小值.【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式?提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.因为a,b,c为正数,所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·当且
