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《2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式练习（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c>0,且a+b+c=1,则a+b+c的最大值是( )A.1B.3C.3D.9解析：由柯西不等式,得[(a)2+(b)2+(c)2]·(12+12+12)≥(a+b+c)2.∵a+b+c=1,∴(a+b+c)2≤3×1=3,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.∴a+b+c的最大值为3.答案：B2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=( )A.14B.13C.12D.34解析：由柯西不等式,得
2、(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当ax=by=cz=12时,等号成立,因此有a+b+cx+y+z=12.答案：C3已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( )A.1B.2C.3D.4解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)=1×1=1,当且仅当ai=xi=nn(i=1,2,…,n)时,等号成立.故a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答
3、案：A4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是( )A.1B.2C.3D.4解析：由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+13+16≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,当且仅当2b12=3c13=6d16时,等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.答案：B5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是( )A.1B.nC.n2D.1n解析：设n个
4、正数为x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)1x1+1x2+…+1xn≥x1·1x1+x2·1x2+…+xn·1xn2=(1+1+…+1共n个)2=n2,当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立.答案：C6若x,y,z∈R+,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是 . 答案：97设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是 . 解析：(a+b+c)4a+9b+36c=[(a)2+(b)2+(c)2]2a2+3b2+6c2≥a·2a+b·3b+c·6c2=(2+
5、3+6)2=121,当且仅当a2=b3=c6时,等号成立.答案：1218设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析：2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤
6、u
7、2·
8、v
9、2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥
10、(-9)29=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案：99已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 . 解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案：1210设x1,x2,x3,…,xn都是正实数,且x1+x2+x3+…+xn=S.求证:x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn≥Sn-1.分析：
11、本题需要构造出S-x1+S-x2+…+S-xn.证法一：根据柯西不等式,得不等式左边=x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn=[(S-x1)+(S-x2)+…+(S-xn)]·1(n-1)S·x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn=1(n-1)S[(S-x1)2+(S-x2)2+…+(S-xn)2]·x1S-x12+x2S-x22+…+xnS-xn2≥1(n-1)SS-x1·x1S-x1+S-x2·x2S-x2+…+S-xn·xnS-xn2=1(n-1)S(x1+x2+…+xn)2=1(n-1)S·S2=S
12、n-1=不等式右边.故原不等式成立.证法二：∵a>0,∴a+1a≥2,∴a≥2-1a,当且仅当a=1时,等号成立.∴xi2S-xi=xin-1·(n-1)xiS-xi≥xin-1·2-S-xi(n-1)xi=2xin-1-S-xi(n-1)2,i=
