2019_2020学年高中数学课时分层作业10平均值不等式（选学）（含解析）新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(十)　平均值不等式(选学)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋与9的大小关系是(　　)A．＋＋≥9　B．＋＋<9C．＋＋＝9D．不确定[解析]　∵a＋b＋c＝1，∴1≥3，∴abc≤，又a，b，c为正数，∴≥27，∴＋＋≥3≥3＝9.[答案]　A2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)A．3B．2C．12D．12[解析]　∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝3＝3×4＝12.

2、当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号．[答案]　C3．若2a>b>0，则a＋的最小值是(　　)A．3B．1C．8D．12[解析]　a＋＝＋＋≥3＝3.当且仅当a－＝＝，即a＝b＝2时等号成立．[答案]　A4．已知x为正数，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n为正数)，则a的值为(　　)A．nnB．2nC．n2D．2n＋1[解析]　x＋＝＋＋…＋＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.[答案]　A5．已知a，b，c

3、为正数，x＝，y＝，z＝，则(　　)A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD．z≤y≤x[解析]　∵a，b，c为正数，∴≥，∴x≥y，又x2＝，z2＝.∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.[答案]　B二、填空题6．设a>0，b>0，称为a，b的调和平均．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆

4、于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均．[解析]　在Rt△ABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝，故线段DC的长度为a，b的几何平均数．又因为△ODC∽△CDE，所以＝，则DE＝＝，故线段DE的长度为a，b的调和平均数.[答案]　DC　DE7．当a＞1,0＜b＜1时，则logab＋logba的范围是________．[解析]　∵a＞1,0＜b＜1，∴loga

5、b＜0，logba＜0，∴－logab＞0，－logba＞0，∴－logab－logba≥2＝2.当且仅当b＝时取等号，∴logab＋logba≤－2.[答案]　(－∞，－2]8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．[解析]　设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3.又∵三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6，∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6，∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3，∴h1h2h3≤＝.[答案]　三、解答题9．证明不等式＋＋…＋<对

6、一切正整数成立．[证明]　∵<，∴＋＋…＋<＋＋…＋，即＋＋…＋<.10．(1)已知a，b是正数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋x∈0，的最小值，指出取最小值时的x的值．[解]　(1)证明：由二元均值不等式得(x＋y)＝a2＋b2＋a2·＋b2·≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故＋≥.当且仅当a2＝b2，即＝时上式取等号．(2)由(1)知，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝，即x＝时，f(x)取最小值，且f(x)min＝25.[能力提升练]1

7、．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)(　　)A．先提价p%，再提价q%B．先提价q%，再提价p%C．分两次都提价%D．分两次都提价%[解析]　≥≥ab，由题可知，A，B两次提价均为(1＋p%)(1＋q%)相等，C提价，D提价，＜⇒(1＋p%)(1＋q%)＜＜，则提价最多为C.[答案]　C2．若x＞1，则函数y＝x＋＋的最小值为(　　)A．16B．8C．4D．非上述情况[解析]　y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当2＝16，x＋＝4，x＝2＋时取“＝”．[答案]

8、　B3．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________．[解析]　(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(x＋y＋z)＋zx≥2＝2.[答案]　24．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v千米/