2019_2020学年高中数学课时分层作业9排序不等式（含解析）新人教B版选修4_5

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1、课时分层作业(九)　排序不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任一排列，则a1c1＋a2c2＋a3c3有(　　)A．最大值a1b1＋a2b2＋a3b3，最小值a1b3＋a2b2＋a3b1B．最大值a1b2＋a2b3＋a3b1，最小值a1b3＋a2b1＋a3b2C．最大值与最小值相等为a1b1＋a2b2＋a3b3D．以上答案都不对[解析]　a1，a2，a3与b1，b2，b3的大小顺序不知，无法确定其最值．[答案]　D2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼

2、品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱(　　)A．6元　　　　　　B．19元C．25元D．3元[解析]　由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．[答案]　B3．设a，b都是正数，P＝＋，Q＝＋，则(　　)A．P≥QB．P≤QC．P>QD．P0，则a2≥b2，≥，∴≥.根据排序不等式，知×＋×≥×＋×，即＋≥＋，∴P≥Q.当且仅当a＝b时，取“＝”号．[答案]　A4．已知a，b，c为正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的

3、正负情况是(　　)A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零[解析]　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.[答案]　B5．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an

4、，则P与Q的大小关系是(　　)A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．P≥Q[解析]　设a1≥a2≥…≥an＞0，可知a≥a≥…≥a，a≥aa≥…≥a.由排序不等式，得ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋…＋aa，即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an.∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an＞0时等号成立．[答案]　D二、填空题6．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．[解析]　a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2

5、＋4×1＝20，∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．[答案]　[20,30]7．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数．则＋＋的最小值是________．[解析]　不妨设a≥b≥c，∴≥≥，∴＋＋≥＋＋，①＋＋≥＋＋.②①＋②得＋＋≥，∴＋＋≥.[答案]　8．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则＋＋…＋与n的大小关系是________．[解析]　不妨设0

6、≤乱序和，得a1·＋a2·＋…＋an·≤a1·＋a2·＋…＋an·，即＋＋…＋≥n，当且仅当a1＝a2＝…＝an>0时等号成立．[答案]　＋＋…＋≥n三、解答题9．设a，b，c为大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)＋＋≤.[证明]　(1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，∴＋＋≤＋＋＝＝·＝.故原不等式得证．10．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋s

7、inβcosγ＋sinγcosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．[证明]　∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在上为增函数，y＝cosx在上为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.根据排序不等式：乱序和>反序和，得∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．故原不等式得证．[能力提升练]1．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是(　　)A．E＜FB．E≥F

8、C．E≤FD．E＞F[解析]　不妨设a1≥a2≥a3＞0，于是0＜≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋