2019_2020学年高中数学课时分层作业11排序不等式（含解析）北师大版选修4_5

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1、课时分层作业(十一)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为(　　)A．3　B．6　　　　C．9　　　　D．12[解析]　由题意，不妨设a1≥a2≥a3>0，则≥≥>0，∴＋＋≥＋＋＝3，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．[答案]　A2．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是(　　)A．P＝Q　　　　B．P

2、>QC．P0，可知a≥a≥…≥a，a≥a≥…≥a.由排序不等式，得ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋aa，即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an.∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an>0时等号成立．[答案]　D3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，至多花________元.(　　)A．20,23B．19,25C．21,23D．19,24[解析]　单价大小排列为3,2,1，待买礼品

3、数量排列为5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和3×5＋2×4＋1×2＝25，最小值是逆序和3×2＋2×4＋1×5＝19.[答案]　B4．设a1，a2，a3为正数，则＋＋与a1＋a2＋a3大小关系为(　　)A．>B．≥C．0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.[答案]　B5．a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则

4、a1b＋a2b＋…＋anb的最小值是(　　)A．1B．nC．n2D．无法确定[解析]　设a1≥a2≥…≥an>0.可知a≥a≥…≥a，由排序原理，得a1b＋a2b＋…＋anb≥a1a＋a2a＋…＋ana＝n.[答案]　B二、填空题6．设a≥b>0，则a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系是__________．[解析]　∵a≥b>0，∴a2≥b2>0，因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)．[答案]　a3＋b3≥a2b＋ab27．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就

5、离开，则他们总的等候时间最短为________s.[解析]　等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．[答案]　418．若a>0，b>0且a＋b＝1，则＋的最小值是__________．[解析]　不妨设a≥b>0，则有a2≥b2，且≥.由排序不等式得＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立．∴＋的最小值为1.[答案]　1三、解答题9．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.[证明]　由对称性，不妨设a≥b≥c>0，于是a12≥b12≥c12，≥≥，故由排序不等式：顺序和≥乱序

6、和，得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为a11≥b11≥c11，≤≤.再次由排序不等式：逆序和≤乱序和，得＋＋≤＋＋.②所以由①，②得＋＋≥a10＋b10＋c10.10．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．[证明]　∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在为增函数，y＝cosx在为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.根据排序不等式得：乱序和≥逆序和．又∵本题中等号不可能取到，∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋si

7、nγcosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．[能力提升练]1．已知a，b，c为正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零[解析]　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c

8、2(c2－ab)≥0.[答案]　B2．锐角三角形中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为(　　)A．P≥QB．P＝QC．P≤QD．不能确定[解析]　不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不