2017年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(江苏版)：专题25空间向量.doc

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1、标准文案2017年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【江苏版】热点二十五空间向量【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1【2013江苏高考】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.[答案]（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，∵大全标准文案，∴异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，因为，，∴，即，取，得，，∴，取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，由，得，故平面与平面所成二面角的正弦值

2、.例2【2015江苏高考】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求二面角，关键求出两个平面的法向量，本题中平面大全标准文案法向量已知，故关键求平面的法向量，利用向量垂直关系可列出平面的法向量两个独立条件，再根据向量数量积求二面角余弦值（2）先建立直线CQ与DP所成角的函数关系式：设,则,再利用导数求其最值，确定点Q坐标，最后利用向量模求线段BQ的长（

3、2）因为，设（），又，则，又，从而．设，，则．当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．【热点深度剖析】1.大全标准文案江苏高考中，空间向量并非每年都考查，难度属于中等，重在考查学生应用空间向量的数学意识以及应用空间向量解决立体几何中基本问题的基本能力，特别是运算能力等，具体地，结合空间向量判断或证明线面的位置关系，求一些角度或长度，但对距离的问题还是被适当淡化.2.加强训练，重点练习面的法向量的求法及点在线上的设法.重视线面角、二面角求法的区别与联系.3.预计16年空

4、间向量有可能性考，二面角是考查重点内容．【最新考纲解读】内容要求备注A　　B　　C　　空间向量与立体几何　　空间向量的概念　　√　　　 　　 　对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.空间向量共线、共面的充分必要条件　　　 　√　　　 　空间向量的加法、减法及数乘运算　　　 

5、　√　　　 　空间向量的坐标表示　　　 　√　　　 　空间向量的数量积　　　 　√　　　 　空间向量的共线与垂直　　　 　√　　　 　　√大全标准文案直线的方向向量与平面的法向量　　 　　　　 　空间向量的应用　　　 　√　　　 　【重点知识整合】一、1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存

6、在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③

11、a

12、2＝a2，

13、a

14、＝.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，

15、b3)大全标准文案向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝二、1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝

16、cosθ

17、＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的

18、法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝

19、cosθ

20、＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．大全标准文案【应试技巧点拨