2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

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第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线y2=8x的准线方程是（）A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4【答案】A【解析】抛物线y2=8x,满足y2=2px，所以P=4,则*2.所以准线方程是乂=--=-2・2故选A.2.从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重（单位：kg）,获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是（）A.中位数为62B.中位数为65C.众数为62D.众数为64【答案】C【解析】・・•由茎叶图得到所有数据从小到大排为53,55,62,62,64,65,71,72,73・••中位数为64,众数为62故选C3.命题“取°€R,2址x：”的否定是（）A.不存在XqGR,2X°>B.3XQGR,2%>爲C.VxeR,2xx2【答案】D【解析]命题取oGR,2X°x2故选D4.容量为100的样本，其数据分布在[2,18],将样本数据分为4组：[2,6）,[6,10）,[10,14）,[14,18], 得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是（）A.样本数据分布在［6,10）的频率为0.32B.样本数据分布在［10,14）的频数为400.样本数据分布在［2,10）的频数为40D.估计总体数据大约有10%分布在［10J4）【答案】D【解析】对于A.样本数据分布在［6,10）的频率为：0.08x4=0.32,正确；对于B.样本数据分布在［10,14）的频数为0.1x4x100=40,正确；对于C.样本数据分布在［2,10）的频数为:（0.02+0.08）x4x100=40,正确；对于D,样本数据分布在［10,14）的频率为：0」x4=0.4,所以估计总体数据大约有40%分布在［10,14）,D不正确.故选0.221.“40,k-4>0,且6-k+k-46-kk-4・・・4vk<5或者5l,Wlog2(x0+3)>1,解得x°N・l・又x0G[-2,5],所以x0E[-l,5].5・(・1)6则K%)>1的概率为：一-—=-.5-(-2)7故选D.1.在平面内,已知两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA|+|PB|=4,若厶APB=60°,则△APB的面积为()A.yB.不C.2馆D.3$【答案】B【解析】在平面内，已知两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA|十|PB|=4,所以动点P在以A,B为焦点的椭圆上,其中2a=4,2c=2,・•・a=2,c=l由余弦定理可得：2222IABI=IPAI+IPBI・2IPAI•IPBI•cosZAPB=(IPAI+IPBI)・3IPAI•IPBI整理得:4=16・3|PA|-|PB|,解得：|PA|-|PB|=4.11斤贝IJ△APB的面积为_・|PA|・|PB|・sin^APB=-x4x—=J3.222故选B.2.在2017年3月15口，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查,5家商场的价格x与销售额y之间的一组数据如表所示:价格X元(单位：元)89.51010.512销售额y(单位：千元)1210864由散点图可知，销售额y与价格x之间有较好的线性相关关系，且冋归直线方程是y=-3.2x+a,®!ja=()A.-24B.35.6C.40D.40.5 【解析】x=将氐5）代入彳=-3.2x+a,Wa=y+3.2x=8+3.2x10=40.故选C.xy1.已知双曲线C:—2-=l(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为E,过点F且垂直于x轴的直线与双_212曲线C相交于不同的两点A,B,若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,2]C.(2,3]D.[2,3)【答案】A2,2【解析】双曲线^-=l(a>0,b>0)的右顶点为E,左焦点为?；EF=a+c,a2丫1卜2过F作垂直于;r轴的直线与双曲线相交于A,B两点，HAB|=-.若△ABE为锐角三角形,只要乙BEA为锐角，即：|AB|b>0)的左焦点为F,过点F的直线x-y+扫=0与椭圆C相交于不同的两点A,B,若P为线段AB的中点,0为坐标原点，直线OP的斜率为丄,则椭圆C的方程为()=1B. 【解析】设A（X],yJ,B（x2,Y2）・・•过点F的直线x・y+$=O与椭圆C相交于不同的两点A,BTP为线段AB的中点，直线OP的斜率为2・・・直线OP的方程为y=-fx1xryr90X2「泊2ab2仪1+『2）©1一『2）b2=0,即]=aw©1+丫2)仪1-丫2)(Xi+X2)(X]—X2)•2nu2••a=2b••2,22•a~=b~+ca2=6»b2=322・・・椭圆的方程为-+^=163故选D点睛：本题主要考查“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关屮点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.1.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5,则程序中的取值范围是（）LOOPUNTILi>aPRINTS|END1A.5a继续执行循环体S=S+i=3,i=i十1=3,不满足i>a继续执行循环体S=S+i=6,i=i+1=4,不满足i>a继续执行循环体S=S+i=10,1=1+1=5,不满足i>a继续执行循环体S=S+i=15,i=i+1=6,由题可知满足i=6>a,输出S=15故ae[5,6)故选C221.已知椭圆C:—+—=1的右焦点为F,点P(x,y)在椭圆。上.若点0满足|QF|=1且逸•&=(),则说|的最小值为(【答案】A【解析】依题意知，点Q在以F(2,0)为圆心，半径为1的圆上，PQ为圆的切线.*.|PQ|2=|PF|2-1设P(4sm8,2、$cose),0e[0,2刃IH7!2=16sin2G-16sinG+4+12cos20=4(sin9-2)2V-l0)为双曲线x2-y2=1的一条渐近线，贝吹=.【答案】1【解析】T双曲线x2-y2=1.a=l,b=1・•・渐近线方程为y=±-x=±xa・・•直线y=kx(k>0)为双曲线x?-y2=l的一条渐近线 /.k=1故答案为11.某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本,已知从学生中抽収的人数为150,那么该学校的教师人数为.【答案】150160-150【解析】试题分析：该校教师人数为2400X=150(人).160考点：分层抽样方法.2.如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题•若输入的，b的值分别为7,3,则输岀的门的值为.【答案】3【解析】输入B=7,b=3,n=l...a21进入循坏，a=a+-=—,b=2b=6,不满足a-1.*•'关于*x的方程/+2mx-4m・3=0有实根AA>0*•*△=（2m）2-4x（-4m・3）=4m?+16m+12>0»化简,得ir?+4m+3>0，解得m<-3或m>-1.命题为真命题.（2）对于命题p：若关于x的方程x2+2mx-4m-3=0无实数根，则厶=（2mF・4x（・4m・3）=4n?+16m+12<0化简，得m-+4m+3<0»解得・3vm<-1.命题p为真命题.对于命题q：关于x的方程/+tx+1=0有两个不相等的正实根，有『4：°，解得f命题q为真命题・•・命题“p且q”为真命题.19•阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：/ /(*)・2/(x)-x1-2x♦11/从畑/(1)求输入的X的值分别为-1,2吋，输出的f(x)的值；(2)根据程序框图，写出函数f(x)(x6R)的解析式；并求当关于x的方程f(x)-k=0有三个互不相等的实数解时，实数k的取值范围.【答案】(1)当输入的X的值为-1时，输出的f(x)=2-1=当输入的x的值为2时，输出的f(x)=22-2X2+1=1；⑵实数k的取值范围为(0,1).【解析】试题分析：(1)根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；(2：x<0(2)由框图可知f(x)=2,x=0,分析分段函数的单调性，进而可得解.(x2-2x+1,x>0试题解析：⑴当输入的x的值为・1时，输111的f(x)=2_1=^.当输入的X的值为2时，输出的f(x)=22-2X2+I=b(2x,x<0(2)根据程序框图，可得f(x)=2,x=0,(x2-2x+l,x>0当x<0时，f(x)=2”，此时f(x)单调递增，且Ovf(x)<1；当x=0时,f(x)=2；当x>0时，f(x)=X2・2x+l=(x・l)2在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且f(x)>0.结合图彖，知当关于x的方程f(x)-k=O有三个不同的实数解时，实数k的取值范围为(0,1).20.已知抛物线C关于x轴对称，顶点在坐标原点0,直线2x-y-2=0经过抛物线C的焦点.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M,N,且满足Oil丄Oh,证明直线过x轴上一定点Q,并求出点Q的坐标. 【答案】(1)y2=4x;(2)直线过定点Q(4,0)・【解析】试题分析：(1)由直线2x-y-2=0经过抛物线C的焦点可求出抛物线C的标准方程；(2)由题意,直线不与y轴垂直，设直线的方程为x=my+n(n#O),M(xpyi),N(x2,y2),联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得丫1+丫2与力丫2,再由ok丄6k，即可求出门，从而求出定点坐标.试题解析：(1)由已知，设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0)化】2/.p=2・・・抛物线C的标准方程为y?=4X-(2)由题意，直线不与y轴垂直，设直线的方程为X=my+n(n^o),M(X],yi),N(X2，y2).联立｛X2?牧n消去X’得y?・4my-4n=0-.•.A=16m2+16n>0,y1+y2=4m,=・4n,•・・皿丄品.•.xix2+y1y2=0又Vyi=4x1,y2=4x2,22•y“219■Y1Y29・•・X]X2+y*2=p+y=『.4n=0loAn=0或n=4Vn#0n=4(此时△=16m2+16n>0)・•・直线的方程为x=my+4,故直线过x轴上一定点Q(4,0)・点睛：本题主要考查直线和抛物线的位置关系及直线过定点问题.属于难题.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为tf(x,y)十g(x,y=0)的形式，根据虚鹅暑求解)，借助于曲线系的思想找出定点(直线过 定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找岀定点）；②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.20.一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：网购金额（单位：千元）频数频率[0,0.5)30.05[0-5,1)XP[1,1.5)90.15[1.5,2)150.25[2,2.5)180.30[2.5,3]yq合计601.00若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.确定x,y,p,q的值，并补全频率分布直方图;頫*试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和屮位数至少有一个不低于2千元，则该网店当口评为“皇冠店”，试判断该网店当口能否被评为“皇冠店”• 【答案】⑴p=0.15,q=0.1,图见解析；（2）网店当日不能被评为“皇冠店”. (3+x+9+15+18+y=60【解析】试题分析：(1)由题意，得］1些y_=2,从而得解；1+X+9+153(2)由频率分布直方图的每一个小矩形的面积乘以横坐标的中点值求和得平均数，中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，进而比较即可.试题解析:(3+x+9+15+18+y=60(1)由题意，得18+y_=2[3+X+9+I53化简，得,解得k=9,y=6.•p=0.15,q=0.L贝Ijx=0.25x0.05+0.75x0」5+1.25x0.15+1.75x0.25+2.25x0.3+2.75x0.1=1.7(千元)「0.15又TO.05+0.15+0.15=0.35,——=0.3.0.5・••这60名网友的网购金额的屮位数为1.5+0.3=1.8(千元,•・•平均数1.7<2,中位数1.8<2,・••根据估算判断，该网店当口不能被评为“皇冠店”.2222.己知椭圆c：冷+刍=l(a>b>0)的两个焦点分别是F］(-Qo),F2(^5,0),a-b_上.⑴求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左顶点为D,过点Q(-詁］的直线m与椭圆C相交于异于D的不同两点A,B,求△ABD的而积S的最人值. Y**v**10【答案】(1)L+L=1;(2)s=-129【解析】试题分析：(1)由焦距得，又椭圆C经过点片1，¥),代入求解即可；2(2)由题意，直线m的斜率不等于0,设直线m的方程为x=ty--,A(xpY1),B(x2,Y2),直线与椭圆联立得(9t2+18)y2-12ty-32=0,|AB|=^-x2)2+(Y1-y2)2,点D到直线m的距离为,418加+16d=i——AABD的面积S=--|AB|-d,利用韦达定理带入得S=,令3JZ29t2+188a8.s==A=79t2+16(a>4),贝ljx2+2■2即可的最值.入—九试题解析：⑴由题意，焦距2c=2&,；・c=&,22XVr•:椭圆C:—+—=l(a^>2).犷・2又椭圆C经过点P(1,A16•—I=1*a24(a2-2)解得宀4或心(舍),••b~=2・22・・・椭圆c的标准方程为-+L=].42(2)由⑴,得点D(・2,0),2由题意，直线m的斜率不等于0,设直线m的方程为x=ty--,A(xpY1),BgyJ,_2联立X_ty'3,消去x,得(9t2+18)y2-12ty・32=0,x2+2y2-4=0•IA=(12t)2+4x32x(9t2+18)>0,12t32i.——J(12t2)+4x32x(9t2+18)9t2+18・•I的=J(x1-x2)2+(y1-y2X=Q1+• 化简,W|AB|=12-,+169T+18 又点D到直线m的距离为d3jl+『’—18尿+16・•・△ABD的而积S=--|AB|-d=—,29t2+188a8s=令A=79t2+16(A>4),贝ljj+2■2,人—九2而函数U=A+-在X.G[4+00)时单调递增，A・・・S在入G[4,十8)时单调递减，16.・.当九=4时即t=0时，△ABD的面积S有最大值S=—.9点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：(1)儿何法：若题目的条件和结论能明显体现儿何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范圉.