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1、减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其屮，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选样恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1.回到定义定义、定理是对数7对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的木质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程.有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”.例1一直线被两直线人：2x+y+3=0和
2、匚：2x-3y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标的原点.求这条直线的方程•简析略解：此题的一般求解思路是：先求出/分别与人、厶的交点（用匕表示），然后利用中点处标公式求出进而得到/的方程，这样运算量太大.如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会口觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法.设/分别与厶、厶交于点M、N,又设M的坐标为（州，儿），则有2兀］+儿+3=0①乂因为M、N关于。对称，所以点N的绝标为（一丙,一％）,贝9有一2x+3y—6=0②①X2+②，得2旺+5风=0.可见Mg」）在儿2兀+5y=0上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为2x+5y=0.
3、例2已知件只分別是椭圆二+・=l（d〉b>0）的左右焦点，M是该椭圆上的一a"b~动点，MN是ZF}MF2的外角平分线，场0丄于0，求动点Q的轨迹方程.略解：设g(x,y),延长FqQ和直线耳M相交于P,则P(2x-c,2y),且AMPQMF.Q.所以MP=MF2,PQ=F2Qf由椭圆的定义得:I耳P
4、=
5、M£
6、+
7、MP
8、=
9、M用+
10、M坊
11、=2a・图1所以，动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2.1.设而不求例3已知ABC的三个顶点都在椭鬪4〒+5于=80上，若A(4,0),AABC垂心是椭圆的右焦点，求肓线BC的方程.简析略解：因4(4,0)为椭圆的短轴的顶点，右焦点F(2
12、,0)为AABC重心，所以F的坐标与三顶点的坐标冇关，故设〃(西」),0也』2)，则「西+兀？+0_2i>2+0=03又因为B,C在椭圆上,故兀］+兀2=6①X+旳=_4②4彳+5昇=80③4兀；+5y；=80④由①、②、③、④求HlB.C两点的坐标，再求直线BC的方程.对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③一④得:4(X[+兀2)(兀1一兀2)+5(开+为)(％一旳)=0・由题意知：州一兀2北()，将①、②整体代入得丄匚北%,-x25这个正好是直线的斜率而BC的中点坐标即M(3,—2),22所以总线BC的方程为：
13、y+2=
14、(x-3)・问题Z所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略.2.用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运川，可化繁为简，化难为易.例4如图2,在直线gy+9“上任取-点M,经过M点且以椭吐+牛1的焦点为焦点作椭閲，问当M在何处时，所作椭I员I的长轴最短，并求出具冇授短长轴的椭圆方程.简析略解：椭闘两焦点为片(-3,0)2作存关于直线/的对称点斤，要使所作椭圆的长轴最短，即MF、+MF2最短，也就是MF2最短，故M点应是直线FE与已知直线/的交点,如图2.x+y+3=0得点P(—6,
15、3),由中兀+y+9=0点坐标公式得FjC-9,6),故直线F}F2的方程为：兀+2y—3=0・x+y+3=0得所求M点的坐标为(一5,4).x+y+9=0肓线片片的方程为：x+y+3=0,由方程组解方程组22由于能卜丽4,此时椭圆的方程为知詁1注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义.最小一一折线段的和最短一一三点一直线一一寻找对称点一一对称变换.简明的解法找到了.对称，能提供一种清晰的想彖力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系.1.活用平儿rti于解析儿何就是用代数方法研究儿何图形性质的一门数学学科，所以平面儿何的许多知识就能使我们的思路来得肓观明了.例5(
16、2001年全国高考试题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的肓线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过原点O.简析略证：如图3,记兀轴与准线/交点E,过A作AD丄/,垂足为D,则AD//FE//BC・ENCNBFNFAFADACABBCAB连结AC,与EF相交于点N,则由平儿知识得：根据抛物线的几何性质,AF=AD,BF=BC所以AD■BFAF
