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《降低解析几何运算量的十种常用策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、降低解析几何运算量的十种常用策略在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结杲。那么如何正确地选择方法，减少解析儿何题的计算量呢？下而介绍几种减少计算量的常用方法。(1)设而不求【题1】已知直线/交椭圆4兀2+5),2=80于M,W两点，椭圆与y轴的止半轴交于B点、若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线/的方程是o【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN的車心，容易求出边MN的中点坐标，那么求直线/的方程，关键在求该直线的斜率。若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后
2、利用韦达定理及线段的中点公式求Z.郦然这个计算量是不菲的。更好的方法是：22【解析】山4兀2+5)，=8()=>二+二=1。2016故椭圆上顶点B(0,4),右焦点F(2,0)为ZBMN的垂心，故线段MN的中点为C(3,-2)。设直线I的斜率为k.,点M(西,yj,N(兀2,为)在椭圆上,=>4（x,-x2）（x,+“2）+（X一）‘2）（儿+）‘2）=04#+5），；=804xf+5）舟=80=”_儿4x,+x2_46_6♦——•5X+儿5-45所求直线方程为:y+2=@(x—3)n6x—5y—28=0。【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题
3、过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果•这种的解题方法叫做设而不求.(2)使用特值【题2］已知在离心率为勺的双曲线二一斗=l(d>b>Q)中，F为右焦点，过F点倾斜角为60°5a~b~—》—》的直线与双曲线右支相交于4,B两点，且点A在第一象限，若满足AF,=mFB则加=【分析】按常规求m值，必先求向量乔与丙之长.山于双曲线的方程无法确定,又必须使用参数，其计算量Z大是让人望而牛畏的。注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果。所以1我
4、们可以通过取特值，让方程具体化。7【解析】e=-=~./a5/22不妨设q=5,c=6,・・・c2二°2+匕2,..”=11,双曲线方程为：—-^-=1,其右焦点尸（6,0）,设2511''A（6+/,两），代入双曲线方程：11（6+,）2—25・3八=25x11=64/2-132—121=0于是t{=—^=一一，加=丄=4,故m=4o14216J（3）平几给力【题3】过圆C:x2+y2=/?2内一定点M（Xo，y°）作一动直线交圆C于两点P,R,过坐标原点O->—>作冇•线ON丄PM于点N,过点P的切线交直线ON于点！2,则OM-OQ=。【分析】与恻有关的
5、问题可以优先利川平面儿何知识•题设条件屮既有垂线乂有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三允形中成比例的线段.Av【解析】如图2,连OP,则OP丄PQ.但是OQ丄PR于N,根据直三角形的射影性质有：
6、d2
7、-
8、d}v
9、=
10、dp
11、2=7?2丽•®二阳•网•cosa二阳•阿卜F即丽•OQ=R2.（4）减少参数【题4】双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为.若双曲线C的右顶点为A,过A的直线/与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点，S.PA=2AQf则直线/的斜率为【分析】第一空，简单；难点是第二问.按常规，为求直线/的斜率，必先确定P或Q的坐标
12、.但山现有条件却确定不了，因此退而求P,Q两处标Z间的关系.但是两点的朋标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.【解析】设P（召，yJ,Q（七,y?）•当用二2AQ时,必+2旳=0.设直线PQ:y=£（兀_1）.令x=y,得y=k（y-l）,：.y,令x=y,得y=k（—y—1）,.•・y2_-k"ITT于是:k2k=0-k{9得z*l-2（Z）=0【别解】（巧用中点公式）如图设P（艇），则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）,AR的中点(3—a-符合所设条件且在直线y=-x上。2（5）回归定义22【题5】设倂，耳是双曲线*-
13、*=1（。＞0上＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（帀+0可）•*=（）・（O为坐标原点），且『可=呵阳
14、,则双曲线的离心率是【分析】根据向童加法的平行四边形法则，op+of2=oq.：.oq丄乔且亜1的丽可知NPF'F’为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=l,.令
15、PF；
16、=r,l）llj
17、pF；
18、=V3r,.-.26/=（V3-l）r,于是“卑,“许是"+1。（6）正难则反2222【题6】若椭圆G，C?分别是：二+£=1（少＞也〉0）和：二+丄亍=1（勺〉方2＞°）a2b2它们焦点相同且舛＞6
19、。给出如卞以个结论：鱼〉久kc2乍2①两个椭圆一定没
