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1、例谈解析几何中减少运算量的几种策略江苏省姜堰中学张圣官（225500）2004年上海高考数学第11题是：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是__________________________。这是一道不需“解”而需“理解”的问题，很有新意，要求学生能够从解析几何的内容中概括出“解析法”，即“用代数方法研究几何的图形性质”这一本质。确实的，解析几何就是在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数运算处理几何问题的一门数学。但是，一味强调解析几何中的代数运算有时会导致烦
2、琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，设计合理的运算途径，选择适当的数学方法，往往能够简化运算过程获得优解。下面介绍几种解析几何中减少运算量的策略，供同学们学习时参考。一．追根溯源，回归定义定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的。对某些圆锥曲线问题，若采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的。因此，定义是解决问题的原生力量，不可忽视定义在解题中的作用。ByxAMNFOQ例1．F
3、是椭圆的左焦点，过F且倾斜角为600的直线交椭圆与A、B两点，若AF=2BF，则椭圆的离心率e=___________。常规思路分析：直接计算，若设出直线AB方程，代入椭圆进行消元，消去x得到关于y的一元二次方程。利用韦达定理，将条件AF=2BF转化为，求出有关a、b的关系式，从而得出椭圆的离心率e。然而其运算将是一件非常烦琐的事情。优解：作出椭圆的左准线，过A、B分别作左准线的垂线，垂足记为M、N，根据条件AF=2BF设AF=2k,BF=k，则，过B作BQ⊥AM于Q，则。在⊿ABQ中，，AB=3k，∠BAQ=600
4、，因此，。小结：以上解法采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范。例2．坐标平面上一点P到点A（,0）,B(a,2)及到直线x=的距离都相等。如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是（）A B C 或D 或-常规思路分析：设出点P的坐标(x,y)，根据其到点A（,0）,B(a,2)及到直线x=的距离都相等列出关系式，然后由“这样的点P恰好只有一个”逼出实数a的值。可是要真正实施起来运算量太大了，根本不可行。从抛物线定义出发可得简解。优解：平面上到点A（,0）及到直线x=的距离相等的点的轨迹
5、是抛物线y2=4x。本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A（,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行。可得结果实数a的值为或-。正确答案为（D）。小结：获得题目所固有的本质属性，需要把定量的计算和定性的分析有机地结合起来。例3．已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上一点，（1）求
6、MP
7、+2
8、MF
9、的最小值；（2）求
10、MP
11、+
12、MF
13、的最小值。常规思路分析：如果设出M点的坐标，无论是设为(x,y)，还是都
14、不太好操作，太繁琐了！可以考虑运用定义。然而两小题中
15、MF
16、的系数一个为2，一个为1，这就导致了所用知识的不同。注意到椭圆的离心率为，则第（1）小题可运用椭圆的第二定义来解，而第（2）小题则需要通过椭圆的第一定义求解。优解：（1）椭圆的离心率为，右准线为L：x=4，过M作MN⊥L于N，则
17、MP
18、+2
19、MF
20、=
21、MP
22、+
23、MF
24、=
25、MP
26、+
27、MN
28、（根据椭圆第二定义），∴当P、M、N三点共线时，即M（，-1）时，
29、MP
30、+2
31、MF
32、的最小值为4-1=3。（2）设椭圆左焦点为F1，则
33、MF
34、+
35、MF1
36、=4（椭圆第一定义
37、），所以
38、MP
39、+
40、MF
41、=
42、MP
43、+4-
44、MF1
45、=4-（
46、MF1
47、-
48、MF
49、），当M在F1P延长线上时
50、MF1
51、-
52、MF
53、取最大值
54、F1P
55、=，此时
56、MF1
57、-
58、MF
59、取最小值。小结：椭圆两种定义的合理运用，使问题的解决方法得到了最优化。二．平几渗透，数形结合解析几何首先是几何问题。一味强调解析几何中的代数运算有时会导致烦琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得简捷而优美的解法。例4．已知A（3，0）是圆x2+y2=2
60、5内的一个定点，以A为直角顶点作直角三角形ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程。常规思路分析：B、C都为圆x2+y2=25上的动点，可引进角参数，设出B、C的坐标，然而这将导致繁复的运算。如果注意到由“垂径定理”知OM⊥BC（O为原点），那么再结合∠CAB=900，AM=BM=CM=BC，即可迅速解题。优解：设M(x,y),连结O
