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《减少解析几何运算量的若干方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、PMvMN=73,PM+PN=y/5AM2aVs3PNV152V153V153,a2=—,2c=MN=V3,c=—减少解析几何运其量的若干方法一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导,把定量的分析有机结合起來，则可使解題计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在而积为1的厶pmn中，tgzPMN=~^g/MNP=-2,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程（93年高考题）分析：在该题的题设条件中，•其实是给出了APMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应
2、用平几知识和椭I员【定义将问题解决。X2V2解:建立如图1所示的坐标系，设所求的椭I员］方程为—+^-=1,则由椭I员1定义冇2。=PM+PN,a2b22c=MN,过点P向x轴作乖线，乖足为A,•・•tgZMNP=-2,tgzPNA=2。由平面儿何知识冇:PA_1MA~29PA网J-
3、w
4、-
5、pa
6、=i,
7、am
8、-
9、an
10、=
11、mn
12、.方2=a2-c2=3。4x2y2所求的椭圆方程为——+—=1153说明：在上述解题过程屮，pn+pm是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。7例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线X=2py（a^2p>0）±运动，以AB的中点C
13、为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。分析:这里莫实就是耍求定长弦AB的中点C到准线的绘小距离。由丁AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均饥所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离Z和的最小值。由抛物线的立义如A、B两点到准线的距离分別等于它们到黒点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离Z和取得最小值Q,这时A、B两点到准线的距离Z和也収得最小值d,所以点C到准线的距离収得最小a佢—O解:如图2,过弦AB的两端分别作准线的垂线,垂足为G、H,乂设I员IC与抛物线的准线切FD,设抛物线的焦点F,连CD
14、、AF、BFo由抛物线的定义,
15、ag
16、=
17、af
18、,且
19、bh
20、=
21、bf
22、.••-CD=^AG+
23、B77
24、）=^AF+眄）>訥斗。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是丄/2说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴乖直的弦），山于通径长为2”，所以抛物线的定长弦的长度。大于等于2〃时，本例的上述解法才成立，如果a<2p时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与y轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。设AB所在直线方程为y=加，将它代入抛物线方程F=2py,得：x2=2pm,:.x=土J2pm,AB=2J2pm=a
25、m=-一，•：C（0,〃？）,故点c到准线y=-p的距离为p+——。所以8/?8p2这时圆c的最小半径为〃+十例3、设ABC是1II1线xy=1上三点，求证：AABC的垂心H（x0,y0）也在该曲线上。分析：证垂心在曲线与=1上，故只需求勺沟之值，而无需求丸、沟。r1、(1解：A1可，（可丿、B兀2，LX2丿kAH=x2x3.从而知AH:y-丄=兀2兀3（兀一兀1）X(1)同理，BH:y——=兀3兀1（兀一兀°）兀2_（2）.故有<沟_丄=兀2兀3（兀0_兀1）习<=>沟一丄=兀3兀1（兀0一兀2）兀2兀1沟一1=可兀2兀3（勺一勺）勺兀2兀3（兀（）一兀2）=兀2刃）一1
26、⑶⑷'（3）x（4）并消去x{x2x3得：（勺）'2一1沧0一“）=（“）'o一一兀2）O（兀2一“）SO=七_兀1•・•X1丰兀2x0）'o=1二、设而不求，整体运算在某些解析儿何问题小，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。XVI例4、椭圆——+—=1上冇两点P、Q,0是原点，若OP、0Q斜率之积为一一。（1）求iiE：lOPp+IOQI21644为定值。（2）求PQ的屮点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为p（“，）1）、Q（兀2，>?2），P、Q分别在椭圆上，且Kop•
27、Koq22+力16422<.>2•H16421.21=_兀24y)2=16-4y22=］6_七2,4>'i)'2=_兀［兀2・一(1)⑵⑶(1)x(2)得=162一16(x「+x22)+2-⑷(3)代入(4)得兀］-+兀/=16,(1)+(2)得+=8—才(兀1~+兀2?)=4OP~+OQ（2）设P、Q的中点M的坐标为M（兀,y）,则有x{+x2=2%,）、+y2=2y,（1）+（2）+（3）x2得4（）；12+匕2+4（川+y2）2=32-（%!+x2）2o22222+〃+X2+『220o32—
