减轻解析几何运算量的若干方法 毕业论文

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1、减轻解析几何运算量的若干方法摘要：解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科。在直角坐标系中，用方程观点研究曲线，如果方法选择不当，往往会导致计算量过大或讨论繁杂，使学生望而生畏。设而不求，整体代换；利用图形的几何性质；合理引进参数；巧用定义等等都是减少计算量的有效方法。文章要求重点突出，论证严谨，举例充分.关键词：解析几何解析几何运算量减轻解析几何运算量1.引言中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，以至于被迫中止解题的过程达

2、到望题兴叹的地步。特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是考察的一个重要的方面。解析几何，有目共睹，每年的大题基本上都是压轴题的形式出现，计算能力的考查倾向尤为突出。为此，我将从以下几个方面探索减轻运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程。2.解析几何及其特点解析几何是高中数学的经典内容，包括了直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程。解析几何主要有如下几个特点：一、明确解析几何的基本思想方法：解析法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解提的程序性和普适性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。二

3、、抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建立轨迹的方程。三、介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意引入的过程，并对过程进行分析。在过程的分析中引导学生自主探索，从分析每种曲线的典型几何特性入手，选择适当的平面直角坐标系，建立每种曲线的方程。四、在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究他们的几何性质，注意代数方法与几何直观相结合。五、加强不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性。六、实例丰富，注重实际背景和应用。七、重视信息技术工具的作用。八、计算量大，计算步骤繁杂。3.减轻解析几何

4、运算量的方法本文主要从介绍几种减轻解析几何运算量的方法3.1利用图形的几何性质解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例1、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。图3解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，，故∠=∠，从而∠=∠，、、共线。由切割线定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出例2、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角△，、在圆上。求的中点M的轨

5、迹方程。图4解：如图所示，设，连结在△中，是的中点，⊥，。在△中，。。。点的轨迹方程为。说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。3.2利用三角形边的关系某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段

6、长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例2、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》80年第6期）分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可图5证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、、、。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，，即。由于，。当直线垂直于轴时结论显然成立。说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲

7、线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。3.3设而不求，整体代换在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例3、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：

8、OP

9、2+

10、OQ

11、2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q

12、,P、Q分别在椭圆上，且，得（3）代入（4）得，（1）+（2）得。